[数学]微分方程模型

微分方程的平衡点与稳定性 稳定性判别方法 3.3 观众厅地面设计 1 问题的提出 例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。 这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形： 敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r(θ)，见图3-2。 B A A1 dr ds dθ θ 图3-2 由题意， ，故ds=2dr 图3-2可看出， 故有: 即: (3.3) 解为： (3.4) 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按(3.4)对数螺线航行，即可追上潜艇。 追赶方法如下： 例3 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？ 解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。 设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有： 因体积守衡，又可得： 易见： 故有： 即： 这是可分离变量的一阶微分方程，得 R x y S O 图3-3 h r 例4 一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，(T1、T2为常数，T1> T2)。金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，(T3< T2，T3为常数)，导热系数为α，试求金属杆上的温度分布T(x)，(设金属杆的导热率为λ) 一般情况下，在同一截面上的各点处温度也不尽相同，如果这样来考虑问题，本题要建的数学模型当为一偏微分方程。 但由题意可以看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面的差异，而建模求单变量函数T(x)。 热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，比例系数与介质有关。 T1 T2 o x A B T3 l dt时间内通过距离O点x处截面的热量为： dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为： 由泰勒公式： 金属杆的微元[x,x+dx]在dt内由获得热量为： 同时，微元向空气散发出的热量为： 系统处于热平衡状态，故有： 所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程: 这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解 人口发展方程和生育率 正反馈模式 滞后作用很大 人口指数 1)人口总数 2)平均年龄 3)平均寿命 4)老龄化指数 控制生育率 现象和问题 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散。形成圆形不透光区域。 不透光区域不断扩大，然后区域边界。逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系 问题分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。 观察的烟雾的消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的敏感程度有关。 5.7、烟雾的扩散与消失 模型假设 1)烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从扩散定律。 2)光线穿过烟雾时，光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光线。 3)穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分明暗界线由仪器灵敏度决定。 模型建立 1)烟雾浓度C(x,y,z,t)的变化规律 扩散定律：单位时间内通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比 1)烟雾浓度C(x,y,z,t)的变化规律 曲面积分的Gauss公式 注意到： [t,t+?t]通过??流量 ?内烟雾改变量 1)烟雾浓度C(x,y,z,t)的变化规律 初始条件 2)穿过烟雾光强的变化规律 I(l)~沿l方向的光强 C(l)~沿l方向的烟雾浓度 光强的减少与烟雾浓度成正比 3)仪器灵敏度与烟雾明暗界线 烟雾浓度连续变化 烟雾中光强连续变化 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界线由仪器灵敏度确定 不透光区域有扩大、缩小、消失的过程 ~不透光区 域边界线 仪器 4)不透光区域边界的变化规律 不透光区域边界半径 结果分析 观察到不透光区域边界达到最大的时刻为t1,可以预报烟雾消失的时刻为t2 5.8万有引力定律的发现 背景 航海业发展 天文观测精确 “地心说”动摇 哥白尼“日心说” 伽里略：落体运动 开普勒：行星运