非线性方程：

非线性方程的收敛性和收敛速度：

 建立迭代方程

【例3-5】求9x^2-sin x-1=0，在(0,1)之间的解，要求| 9x^2-sin x-1|<0.00001。

二分法：（穿根法）

 二分法的时间渐近复杂度分析

【例3-5】求9x^2-sin x-1=0，在(0,1)之间的解，要求| 9x^2-sin x-1|<0.00001。

牛顿法--有点儿化曲为直那意思

线性代数方程：

【例3-8】求下列解线性方程组的解

非线性方程：

非线性方程的收敛性和收敛速度：

定义3.1 设 $x_k$ 是方程f(x)=0的根，若存在xk的一个邻域Δ，当初值属于Δ时，迭代收敛，则称该迭代过程具有局部收敛性。

定义3.2 设 $\varepsilon _{k} = x^{*} - x _{k}$ 为第k次迭代的迭代误差，若

【第k+1次迭代误差与第k次迭代误差的p次方同阶。】

则称迭代是 p阶收敛的。称c为渐近误差常数。

定义3.3 称 $EI = p ^{\frac{1}{\Theta }}$ 为效率指数，其中，θ表示每次迭代的计算量，p表示迭代的收敛阶。

定理3.1 若当x∈[a, b]时，φ(x) ∈[a, b]，且φ(x)满足 |φ’(x)| ≤ L<1, x∈[a, b]

则迭代收敛于唯一的根。

 建立迭代方程

(1)选取适当的初值x0

(2)建立迭代方程，将方程f(x)=0转换成x=φ(x)的等价形式。

(3)运用迭代方程x=φ(x)，反复计算，如 $x_1 = \Phi ( x_0 ), x_2= \Phi (x_1),.. ,x_n=\Phi (x_{n-1})$ ，得到x的序列，若该数列收敛，则最终可以得到满足一定精度ε的解，即有 $|x _{n}-x _{n-1}|<\varepsilon$ 。有时候也会用f(x_n)<= ε或f(x_n)=0来判断。

【例3-5】求9x^2-sin x-1=0，在(0,1)之间的解，要求|9x^2-sin x-1|<0.00001。

 问题分析

超越方程没有通用公式，移项建立迭代方程：

(1) $x=(sin x +1)^{1/2} /3$ //从x^2解

(2) x=arc sin(9*x*x-1) //从sinx解 不收敛

计算模型：

算法设计与描述	算法分析
输入：x
输出： x0
迭代方程： equation（x）: { x1 <- x; x0 <- 0; while( \| x1- x0\| >0.00001 ) { x0 <- x1; x1 <- sqrt ( sin(x0) +1) /3 ; } return x0; }	(1)若 x0=0.4 ，经测试达到精度0.00001，需要迭代的次数为6次，xi = 0.391849 (2)若x0=0.5, 经测试达到精度 0.00001，需要迭代的次数为7次，xi = 0.391851
二分法： equationD (x1,x2) { f1 <- 9x1x1 - sin(x1)-1; f2 <- 9x2x2 - sin(x2)-1; f <- 1; if( f1f2 < 0 ) { while ( \| x - x3 \| > 0.00001) { x <- ( x1+x2)/2; //中点 f <- 9xx - sin(x)-1; if(f==0)break; if(ff1>0) //不在里面，从(x,x2) { x3=x1; //x3是上一次的x值 f1=f; x1=x; } else //在里面 (x1,x) { x3=x2; x2=x; } } } }	(1)若x1=0,x2=0.4, 代入k≥(ln(b-a)-lnε)/ln2 -1得 k≥14.287712 经测试，当xi =0.391852时,达到所要求精度0.00001所迭代的次数为17次。 (2)若x1=0,x2=0.5 代入k≥(ln(b-a)-lnε)/ln2 -1得 k≥14.6096。经测试，当xi =0.391853时,达到所要求精度0.00001所迭代的次数为17次。
牛顿法：计算模型： equationN (x) { x1 <- x; x2 <- x1 - (9x1x1 -sin(x1) -1) / (18x1 - cos(x1)); while( \|x1-x2 \| > 0.00001 ) { x1 <- x2; x2 <- x1- (9x1x1 -sin(x1) -1)/(18x1-cos(x1)) ; } return x2; }	算法测试 (1)若x1=0.4, 经测试,x=0.391847 时，达到所要求精度0.00001所迭代的次数为7次。 (2)若x1=0.5, 经测试,x=0.391847 时，达到所要求精度0.00001所迭代的次数为3次。

二分法：（穿根法）

若f(x)在区间[a, b]上连续，则在此区间上任取两点 x1、x2，若f(x1)*f(x2)<0，则在（x1,x2）间必有解。

其求解步骤为：

(1)f(x1)*f(x2)<0，方程有解，继续 (2)，否则无解；

(2)令x=(x1+x2)/2，代入方程f(x)=0，则x即为所求，算法结束。否则进行(3)；

(3)f(x1)*f(x)<0，与x2同侧令x2=x，若f(x1)*f(x)>0，则与x1同侧，令x1=x，继续步骤(2)。

 二分法的时间渐近复杂度分析

设根在区间 $[a _{k},b _{k}]$ ，取 $x _{k}=(a _{k} + b _{k} ) /2$ 作为根的一个近似，按上述算法框架，不断二分，则可以获得一个近似根的序列{x0,x1,x2,…,xk}，该序列必以根 x*为极限。

那么，误差可以表示为： $|x ^{*}-x _{k} | \leq (b _{k} - a _{k})/2 = (b-a)/2 ^{k+1}$

对于给定精度ε，只需取k满足 $(b-a)/2 ^{k+1}$ ≤ ε，可得k ≥ (ln(b-a)-lnε) / ln2 -1。

计算模型：

牛顿法--有点儿化曲为直那意思

设待解方程为f(x)，其一个解为x。

设过点(x0,y0)的切线斜率为f ’(x0)，则其切线方程为： f(x)=f(x0)+f ’(x0)(x-x0)

当其与x轴相交时，f(x)=0。则可得到 x=x0-f(x0)/f ’(x0)

上式可以做为迭代公式，反复使用，求出迭代数列x1,x2,…, xn，直到满足精度为止。

牛顿法的时间复杂度分析

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