欧拉算法

定义

定义：在数学和计算机科学中，欧拉方法，命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程（即初值问题）求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法（Explicit method）。

欧拉法是常微分方程的数值解法的一种，其基本思想是迭代。其中分为前进的EULER法、后退的EULER法、改进的EULER法。所谓迭代，就是逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。误差可以很容易地计算出来。

非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使是 d y d x = y 2 + x 2 \frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=y^2+x^2 dxdy=y2+x2。对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法是一个重要的手段。

公式推导

设微分方程为
{ d y d x = f ( x n , y ( x n ) ) , a ≤ x ≤ b y ( a ) = y 0 \begin{cases} \frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=f(x_n,y(x_n)),&a\leq x \leq b\\ y(a)=y_0 \end{cases} {dxdy=f(xn,y(xn)),y(a)=y0a≤x≤b

差商近似导数

若用向前差商 y ( x n + 1 ) − y ( x n ) h \frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h} hy(xn+1)−y(xn)代替 y ′ ( x n ) y'(x_n) y′(xn)带入微分方程 d y d x = f ( x n , y ( x n ) ) \frac{\mathrm{ d}y}{\mathrm{d}x}=f(x_n,y(x_n)) dxdy=f(xn,y(xn))中，可得
y ( x n + 1 ) − y ( x n ) h ≈ f ( x n , y ( x n ) ) y ( x n + 1 ) = y ( x n ) + h f ( x n , y ( x n ) ) \frac{y(x_{n+1})-y(x_n)}{h} \approx f(x_n,y(x_n))\\ y(x_{n+1})=y(x_n)+hf(x_n,y(x_n)) hy(xn+1)−y(xn)≈f(xn,y(xn))y(xn+1)=y(xn)+hf(xn,y(xn))

如果用 y ( x n ) y(x_n) y(xn)的近似值 y n y_n yn代入上式右端，所得结果作为 y ( x n + 1 ) y(x_{n+1}) y(xn+1)得近似值，记为 y n + 1 y_{n+1} yn+1，则有
y n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) , n = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n),n=0,1,\cdots,N-1 yn+1=yn+hf(xn,yn),n=0,1,⋯,N−1
这样，微分方程的近似解可以通过求解下述式子来获得
{ y n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) , n = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 y 0 = y ( a ) \begin{cases} y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n),& n=0,1,\cdots,N-1\\ y_0=y(a) \end{cases} {yn+1=yn+hf(xn,yn),y0=y(a)n=0,1,⋯,N−1

算法缺点

欧拉算法简单地取切线地端点作为起点来计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此，欧拉算法一般不用于实际计算。

数学建模——欧拉算法（求解常微分方程）相关推荐

[计算机数值分析]改进欧拉格式解常微分方程的初值问题
欧拉方法yn+1 = yn +hf(xn,yn) 是一种显式算法,计算量小,但精度很低.梯形方法yn+1 = yn + h / 2 *[f(xn,yn) + f(xn+1,yn+1)] 虽然提高了精度 ...
隐式欧拉解常微分方程c语言,利用欧拉方法求常微分方程近似数值解.doc
利用欧拉方法求常微分方程近似数值解,欧拉微分方程,欧拉运动微分方程,欧拉平衡微分方程,欧拉型微分方程,微分方程的欧拉算法,微分方程的欧拉解法,欧拉型常微分方程,偏微分方程数值解,微分方程数值解法利用 ...
数学建模_数学模型的分类数学建模十大算法
数学模型的分类数学建模十大算法 1.蒙特卡罗算法 (该算法又称随机性模拟算法, 是通过计算机仿真来解决问题的算法, 同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法) 2.数据拟合.参数 ...
蹦极模型matlab仿真,科学网—蹦极的数学建模及其龙格-库塔法求解方法 - 赵也非的博文...
论文: 蹦极的数学建模及其龙格-库塔法求解方法在"华东师范大学首届研究生数学建模竞赛"中,获得二等奖. 发表日期: 2007年5月摘要: 本文通过参照题中给出的数据,对蹦极者在 ...
梅森数形如2 n −1的素数称为梅森数（Mersenne Number）。例如2 2 −1=3、2 3 −1=7都是梅森数。1722年，双目失明的瑞士数学大师欧拉证明了2 3
形如2 n −1的素数称为梅森数(Mersenne Number).例如2 2 −1=3.2 3 −1=7都是梅森数.1722年,双目失明的瑞士数学大师欧拉证明了2 31 ...
【数学建模】2003年全国大学生数学建模竞赛B题求解
目录 [数学建模]2003年全国大学生数学建模竞赛B题求解 [数学建模]2003年全国大学生数学建模竞赛B题求解 model: title CUMCM-2003B-01; sets: cai / 1. ...
matlab:使用欧拉方法求解微分方程
书目:<数值方法(matlab版)>,作者周璐等译 %欧拉方法求解微分方程function [t,y] = my_euler(f, t0, tf , y0, h)%f-函数: t0,tf: ...
欧拉算法及其改进算法
电磁场中微积分方程的仿真实验(欧拉算法) 一.Euler公式以当前点的值为初值,当前点的导数为导数,计算下一个步长的点的值. 代码实现如下: from matplotlib import pyplo ...
matlab欧拉方程求解微分方程并和ode45对比结果
1.内容简介 matlab欧拉方程求解微分方程并和ode45对比结果 2.内容说明略 3.仿真分析 clc close all clear %% ode45方法 y0 = [8.5;2;1];%初始 ...

数学建模——欧拉算法（求解常微分方程）

欧拉算法

定义

公式推导

算法缺点

数学建模——欧拉算法（求解常微分方程）相关推荐

最新文章

热门文章