文章目录

问题
一、牛顿插值基函数
二、均差(差商)及其基本性质
- 2.1 均差定义
- 2.2 利用均差表计算均差 ⭐
- 2.3 均差的性质
三、牛顿差值余项
习题

问题

一、牛顿插值基函数

Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)l_i(x)li(x)都需要重新计算

牛顿插值基函数
确定系数A0,A1,…,AnA_0 , A_1,…, A_nA0,A1,…,An
依据插值条件(2),可以依次确定系数A0,A1,…,AnA_0 , A_1,…, A_nA0,A1,…,An:

即最后的系数：

二、均差(差商)及其基本性质

2.1 均差定义

一阶均差的均差:

利用插值条件和均差的定义,可求出Nn(x)N_n(x)Nn(x)的系数AjA_jAj :

2.2 利用均差表计算均差 ⭐

均差的计算步骤与结果可列成均差表，如下

由均差定义可知：高阶均差是两个低一阶均差的均差。

习题

2.3 均差的性质

性质1：均差可以表示为函数值的线性组合
性质2（对称性）：均差的值与节点排列顺序无关
性质3 (均差与导数的关系)
性质4 (特征定理)
性质 5
牛顿插值多项式⭐

每增加一个节点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。

三、牛顿差值余项

习题

例题

已知信息f(0)f(0)f(0)=1,f(−1)f(-1)f(−1)=5,f(2)f(2)f(2)=-1,构造f(x)f(x)f(x) 的均差表。

例题

1.构造差商表
2.分别写出二次、四次Newton插值多项式
例题

详细计算过程：

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《数值分析》-- 牛顿插值

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2.1 均差定义

2.2 利用均差表计算均差 ⭐

2.3 均差的性质

三、牛顿差值余项

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