[NOIp2018] 摆渡车

普及组考斜率优化

考虑dpdpdp

fif_ifi表示在iii时刻发车的最小等待时间

那么我们可以得到转移方程

fi=min⁡0≤j≤i−m{fj+(cnti−cntj)i−(sumi−sumj)}f_i=\min\limits_{0\leq j\leq i-m} \{f_j+(cnt_i-cnt_j)i-(sum_i-sum_j)\}fi=0≤j≤i−mmin{fj+(cnti−cntj)i−(sumi−sumj)}

其中cnt,sumcnt,sumcnt,sum分别是学生个数和学生到达时间的前缀和

发现jjj的最优转移一定是在[i−2m,i−m][i-2m,i-m][i−2m,i−m]上的，这样复杂度可以变成O(tm)O(tm)O(tm)

但是众所周知CCF老爷机的速度

我们发现这个式子可以斜率优化，写成

fj+sumj=i×cntj−ci×i+si+fif_j+sum_j=i\times cnt_j-c_i\times i+s_i+f_ifj+sumj=i×cntj−ci×i+si+fi

其中y=fj+sumj,k=i,x=cntj,b=−ci×i+si+fiy=f_j+sum_j,k=i,x=cnt_j,b=-c_i\times i+s_i+f_iy=fj+sumj,k=i,x=cntj,b=−ci×i+si+fi

然后这道题就愉快的O(t)O(t)O(t)解决了！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)typedef long long ll;const int N=4e6+5;
const int mod=1e9;template<typename T> void read(T &x){x=0;int f=1;char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';x*=f;
}int n,m,top;
int a[N];
int cnt[N],sum[N];
int f[N];
int q[N],head,tail;
int ans=INT_MAX;int fz(int x,int y){return f[x]+sum[x]-f[y]-sum[y];
}int fm(int x,int y){return cnt[x]-cnt[y];
}int main()
{read(n),read(m);Rep(i,1,n)read(a[i]),sum[a[i]]+=a[i],cnt[a[i]]++;Rep(i,1,n)top=max(top,a[i]);Rep(i,1,top+m)sum[i]+=sum[i-1],cnt[i]+=cnt[i-1];head=1,tail=0;Rep(i,0,m-1)f[i]=cnt[i]*i-sum[i];q[++tail]=0;Rep(i,m,top+m){while(head<tail&&fz(q[head+1],q[head])<=1ll*i*fm(q[head+1],q[head]))head++;f[i]=f[q[head]]+(cnt[i]-cnt[q[head]])*i-(sum[i]-sum[q[head]]);while(head<tail&&1ll*fz(q[tail],1ll*q[tail-1])*fm(i-m+1,q[tail])>=1ll*fz(i-m+1,q[tail])*fm(q[tail],q[tail-1]))tail--;q[++tail]=i-m+1;}Rep(i,top,top+m)ans=min(ans,f[i]);printf("%d\n",ans);return 0;
}

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