0-1多背包带约束问题（MKAR）

本文其实与智能算法无关，这是最优化课程的一个小作业，之所以放在智能算法一栏，是因为这个问题的大部分解法都是智能算法。下面出场的是背包问题的一个变种——带约束的多背包问题，这个问题的精确算法复杂度极高，所以一般退而求其次寻找拥有固定近似比的近似算法，本文求解采取的则是一种基于DP动态规划的近似算法，巧妙的并不是算法本身，算法也不能保证求出最优解，精华在于近似比的证明部分，这一部分证明我参考了相关文献，分享给大家细细品味。

❖ 问题描述

有个物品，每个物品的重量为wi，另有m个背包，每个背包的容量为cj，另外每个物品有放入限制R，Rij=1则表明物品i可以放入背包j中，Rij=0则不能，因此R是一个n*m的矩阵。

那么在不违背放入限制规则，同时每个背包内物品不超过相应容量时，如何使背包所装物品的重量最大？上述问题可以用以下数学模型来描述：

❖ 算法描述

设置是否放入标记列表isPut，初始化为False
依次遍历每一个背包，记当前背包的编号为
枚举出当前isPut=False且R[i][j]=1的所有物品集item
利用DP动态规划求出从item中取出物品放入背包的最优解，并将取出物品的isPut标记为True(表示前i个物品能放入容量为j背包的最大重量)
回到step 1求解下一背包

❖ 近似比证明

上述算法求得的目标函数值.

Prove

我们假设上述算法执行的目标结果为T，且背包中的物品重量之和为Wj，而该算法中没有被放置于任何背包的物品集为M，接下来证明其余任何可行解从M中取出放入背包的物品重量总和S≤T。

【反证法】 假设存在一个可行解，使得S>T，那么总有一个背包内的物品重量之和>Wk，即背包k里面存在一个物品集有。注意到DP动态规划求得的是最优解，即Wk是当时剩下物品放入背包k的最优方案，而M中的物品在上述算法中没有被放入任何背包，从而可以将I中物品放入背包获得更优解，矛盾！从而S≤T得证。

另外从M外放入背包的物品总量最多即为T，从而背包总量≤T+S≤2T。

❖ 求解结果

背包	放入物品编号	背包内物品重量之和	背包容量
0	2, 5, 6, 11, 12, 13	866	866
1	3, 14, 16, 19, 20, 22	908	908
2	1, 7, 10, 18, 21, 24, 30, 31	1361	1361
3	4, 9, 15, 17, 23, 26, 33	559	559
4	8, 27, 28, 32, 36, 39, 40, 42, 47, 49	1216	1216
5	29, 35, 38, 41, 51, 52	983	983
6	25, 34, 37, 53, 54, 55	1111	1111
7	71, 72, 80, 83	300	300
8	46, 50, 56, 57, 63	857	857
9	44, 48, 58, 61, 62, 64, 70	1462	1462

问题Sample下载：多背包问题.

所有背包均装满，可以确定是最优解。

❖ 总结

事实上根据证明过程可以看出，任意一个能够求出0-1单背包问题最优解的算法都可以替换DP算法达到1/2的下界。同时可以举例证明1/2是最优下界，如背包容量{C+ε,C}，物品重量为{ε,C,C+ε}。最优解为2C+ε，而实际运行结果可能为C+ε，两者比值

由此可见，如果将物品重量从高到低排列后再进行DP求解可以优化算法结果。

❖ C ☺ D E

import numpy as np
import pandas as pd
from copy import deepcopy as dpload = np.array(pd.read_excel("/Users/starlitrover/Downloads/最优化/背包问题.xlsx", header=4, usecols=range(1, 11)))
value = np.array(
pd.read_excel("/Users/starlitrover/Downloads/最优化/背包问题.xlsx", header=4, usecols=[11]).iloc[:,0])
size = np.array(
pd.read_excel("/Users/starlitrover/Downloads/最优化/背包问题.xlsx", usecols=range(1, 11), nrows=1).iloc[0, :])isPut = [False] * len(value)
total = []
list = []
for i in range(len(size)):item = []for j in range(len(value)):if not isPut[j] and load[j, i] == 1:item.append(j)f = np.zeros([len(item), size[i] + 1])it = [[[] for a in range(size[i] + 1)] for b in range(len(item))]for a in range(1, len(item)):for b in range(value[item[a]], size[i] + 1):if value[item[a]] + f[a - 1, b - value[item[a]]] > f[a - 1, b]:f[a, b] = value[item[a]] + f[a - 1, b - value[item[a]]]it[a][b] = dp(it[a - 1][b - value[item[a]]])it[a][b].append(item[a])else:f[a, b] = f[a - 1, b]it[a][b] = dp(it[a - 1][b])for k in it[len(item) - 1][size[i]]:isPut[k] = Trueif len(item) > 0:total.append(f[len(item) - 1, size[i]])list.append(it[len(item) - 1][size[i]])PutIn=pd.DataFrame(columns=range(10),index=range(100))
PutIn.fillna(0,inplace=True)
for i in range(len(list)):for j in list[i]:PutIn[i][j]=1print(PutIn)

❖ References

[1] Approximation Algorithms for the Multiple Knapsack Problem with Assignment Restrictions
[2] Chapter 6: Multiple knapsack problem , Knapsack Problems