详解二分图的最大匹配

一天一算法

二分图的匹配算法——最大匹配

基本概念:

二分图本身的概念就不解释了。这里主要介绍一下增广路。也有人称它为交错路。之所以称它为交错路是因为在这条路径上，未匹配边和匹配边是交替出现的。之所以称它为增广路，是因为如果能找到这条路，就能够使得匹配数加一。事实上，他的名字就是增广路的性质的体现。我们把二分图中的点分为左边和右边。增广路的理解，就是，一个未匹配点a(左边)到另一个未匹配点b(右边)的一条路径。这条路径满足上述的交错的性质。

KM算法

：在求二分图的匹配中，一个基本的算法就是KM算法。KM的算法核心思想，就是寻找增广路。因为，每找到一条增广路，那么匹配数就会多1.所以，那么就一直找增广路，直到找不到为止。找不到的时候，得到的就是最大匹配数了和相应的匹配了。

KM算法运行步骤的文字描述：

我觉得初学者看到这里还是不明白KM算法到底是怎么操作的。那么，我用文字来大致的描述一下。
假设我们现在要给n1(左边)找一个匹配点。我们首先遍历a的相邻点。加入我们找到了一个点。称它为n2（右边）.如果n2（右边）没有匹配，则我们就已经找到了一条增广路（看上文的定义）。如果n2（右边）已经匹配，并且我们设他匹配的点是n3（左边），那么我们就尝试着找一条增广路。找增广路的本质，就是我们要找一种调整方案。把我们原先的匹配的方案在调整一下，尽可能使得当前的点也可有匹配的点。

那么怎么调整呢。接下来我用拟人来描写。：）我们假设n1（左）和n2（右）匹配。但是n2（右）和n3（左）在之前就匹配了，所以，为了不让n3（左）生气，我们还得再给n3（左）找一个匹配点。如果n3没有找到匹配点，那么我们就还按照原来的匹配方案匹配。因为这样谁也不得罪。但是，如果n3（左）找到了一个匹配点，我们叫他n4（右），那么我们就调整，让n3（左）去和n4（右）匹配，n1（左）和n2（右）匹配。这样一来，我们不就多了一个匹配吗？那么问题来了，怎么给n3（左）找匹配点呢？很显然，在计算机看来，n3（左）和n1(左)没有任何区别不是吗？你怎么给n1找，你就怎么给n3找不就得了。仍然是，遍历相邻的点,我们找到一个点n4，如果n4没有匹配，那么就让n3和n4匹配。如果，n4已经匹配…………代码经验多的同志们可能就看出来了，这实际上就是递归的过程。当然，KM算法，也有非递归的形式。但这样理解无妨。

复杂度分析

KM算法的理论复杂度是O(VE).当然，这取决与你的实现方式。KM有BFS实现方式和DFS实现方式。总体而言，BFS是较好的。尤其是在稀疏图中。BFS有明显的优势。

同时较好的存图方式应该是采用邻接表。要实现邻接表。可以借助容器vector ,当然,这样会浪费一些空间，因为vector不能动态的申请大小，也可以自己实现。在接下来的代码展示中，我会采用容器实现，以求方便。并给出不用容器实现邻接表的c++代码。

Talk’s cheap ,show me the code

//首先给出邻接表的完成
#include<iostream>
struct Link{int node;struct Link *next;Link(){node=-1;next=NULL;}
};
struct _Node{