卡特兰数catalan证明及应用举例

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。其计算公式是

Cn=Cn2nn+1=(2n)!(n+1)!n!,n为自然数 C n = C 2 n n n + 1 = ( 2 n ) ! ( n + 1 ) ! n ! , n 为自然数

C_n = \frac{C_{2n}^n}{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}, n为自然数
由计算公式很容易导出其递推公式为 C0=1,Cn=2(2n+1)n+2Cn−1 C 0 = 1 , C n = 2 ( 2 n + 1 ) n + 2 C n − 1 C_0=1, C_n=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_{n-1}
卡特兰数列的前四项是1，1，2，5，…

应用：
1. Cn C n C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
2. 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
3. Cn C n C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。
4. 电影院买票找零问题：有2n个人排队进电影院，票价是50美分。在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）。愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有。问：有多少种排队方法使得每当一个拥有1美元买票时，电影院都有50美分找钱
注：1美元=100美分，拥有1美元的人，拥有的是纸币，没法破成2个50美分

证明：
令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有 Cn2n C 2 n n C_{2n}^n个，下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。为了便于求解不满足要求的情况（即扫描到某一位时经过的0数多于1数）数，将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0（一一映射，情况数是相等的），则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。从而

Cn=Cn2n−Cn+12n=(2n)!n!n!−(2n!)(n+1)!(n−1)!=(1−1n+1n)(2n)!n!n!=Cn2nn+1 C n = C 2 n n − C 2 n n + 1 = ( 2 n ) ! n ! n ! − ( 2 n ! ) ( n + 1 ) ! ( n − 1 ) ! = ( 1 − 1 n + 1 n ) ( 2 n ) ! n ! n ! = C 2 n n n + 1

C_n = C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{(2n)!}{n!n!}-\frac{(2n!)}{(n+1)!(n-1)!}=(1-\frac{1}{\frac{n+1}{n}})\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}

参考资料：
1. 维基百科卡特兰数

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