算法分析与设计——2.5 循环赛日程表

问题描述：设有n= $2^k$ 个运动员要进行网球循环赛。现在要设计一个满足以下条件的比赛日程表。

(1）每个选手必须要与其他n-1个选手各赛一次；

(2) 每个选手一天只能赛一场；

(3) 循环赛赛程是n-1天。

算法设计：设计一张循环赛日程表。

问题输入：输入k值。

问题输出：输出n×n的赛程表。

问题思路：可以采用分治递归解决，也可以采用分治非递归算法。

A. 分治递归方案

1	2	3	4	5	6	7	8
2	1	4	3	6	5	8	7
3	4	1	2	7	8	5	6
4	3	2	1	8	7	6	5
5	6	7	8	1	2	3	4
6	5	8	7	2	1	4	3
7	8	5	6	3	4	1	2
8	7	6	5	4	3	2	1

以上是一个排好的循环赛日程表。我们发现当k=1时，在这个2x2的表格里，a[0][0]=a[1][1]，a[1][0]=a[0][1]。也就是对角线上的表格元素相同，当k=2时，在4x4的表格里，对角线上的2x2的小表格元素相同。随之扩展到当k=n时，在 $2^n$ x $2^n$ 的表格里，对角线上的2^(n-1)x2^(n-1)的小表格元素相同。也就是说，任意给定一个k值所构成的nxn的表格的元素内容，都可以直接用这个表格的前(n/2)x(n/2)上的元素去复制得到后(n/2)x(n/2)的元素，即用左上表格复制得到右下表格，左下表格得到右上表格。也就是把此问题划分成了2个子问题。且并不存在公共子问题。边界条件就是当k=0时n=1，不用执行操作。所以满足的递归方程为：

T(n)=O(1) n=1;

T(n)=2T(n/2)+O(n^2) n>1;

T(n)=O(n^2)。

代码如下;

#include<iostream>
#include<time.h>
using namespace std;
//分治递归
void copy(int **arr,int x1, int y1, int x2, int y2, int n)//二维数组指针
{//xiafor(int i=0;i<n;i++)for (int j = 0; j < n ; j++){arr[x2 + i][y2 + j] = arr[x1 + i][y1 + j];}
}void Table(int **arr,int x, int y, int n)
{if (n == 1)return;Table(arr,x, y, n / 2);Table(arr,x + n / 2, y, n / 2);copy(arr,x, y, x + n / 2, y + n / 2, n / 2);//copy 右下copy(arr,x + n / 2, y, x, y + n / 2, n / 2);//上
}
void print(int **arr,int n)
{for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++){cout.setf(std::ios::left);cout.width(5);cout << arr[i][j] ;}cout << endl;}
}
int main()
{int k;cout << "输入k：";cin >> k;int n = 1;for (int i = 1; i <= k; i++)n *= 2;int **arr = new int*[n];//二维数组指针初始化for (int i = 0; i < n; i++) {arr[i] = new int[n];}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++){if (j == 0)arr[i][j] = i + 1;elsearr[i][j] = 0;}}Table(arr,0, 0, n);print(arr,n);cout << "The run time is:" << (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC << "us" << endl;return 0;}

运行结果

B. 非递归算法

非递归算法可以先输入一列/行原始数据，通过对位copy，一步一步迭代出总方案。最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;#define N 1024
int arr[N][N];void copy(int x1, int y1, int x2, int y2, int n)
{//xiafor (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++){arr[x2 + i][y2 + j] = arr[x1 + i][y1 + j];}
}void Table(int k)
{int n = pow(2, k);for (int i = 0; i < n; i++)arr[i][0] = i + 1;for (int i = 2; i <= n; i *= 2){for (int j = 0; j < n; j += i){int s = i / 2;copy(j, 0, j + s, s, s);copy(j + s, 0, j, s, s);}}
}void print(int n)
{for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++){cout.setf(std::ios::left);cout.width(5);cout << arr[i][j];}cout << endl;}
}void matchtable(int k)
{int m = 1;int n = pow(2, k);for (int i = 0; i < n; i++)arr[i][0] = i + 1;for (int s = 0; s < k; s++){n /= 2;for (int t = 0; t < n; t++){for (int j = m; j < 2 * m; j++){for (int i = m; i < 2 * m; i++){arr[i - m + 2 * t*m][j] = arr[i + 2 * t*m][j - m];arr[i + 2 * t*m][j] = arr[i - m + 2 * t*m][j - m];}}}m *= 2;}
}int main()
{int k;cout << "输入k：";cin >> k;int n = pow(2, k);Table(k);print(n);cout << " 另一种" << endl;matchtable(k);print(n);return 0;
}

输出结果

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