芝诺悖论的反驳——离散与连续角度

芝诺的四个论证运动不可能的悖论参见本人微信公众号码原里的文章《之诺的四个悖论》。

在讨论悖论之前，先和大家明确两组概念，第一组：离散和连续。拿数学来说，离散数学主要研究数理逻辑、图、集合及关系这些独立的对象，实数、微积分和欧几里几何等是排除在外的。第二组：有限和无穷。有限的事物可以度量计数、枚举，无穷的事物不能用某一固定的数字来表述和限定其无穷属性（即使是收敛的极限值，描述极限性质的也是趋近于这个极值的无穷小量），像是数轴，往两个方向延伸没有最大或最小的数字，也没法分割成有限个数字。

我们生活的世界里，很多事物都是连续和无穷的。比如说花朵色彩的渐变，滑棒吉他弹奏出的滑音，温度随海拔的变化等等。芝诺论述运动不可能的悖论中，建立在对时间和空间这两个重要概念的认识上。

对于二分法的普遍反驳是用无穷级数去反驳，这里我们换个角度去分析。芝诺假定一段有限的距离可以无穷次均等划分，实际上是自相矛盾的。一段距离，如果承认其有限，就不能被无限划分，如果承认其可以无限次划分（无穷），那一定不能以一个离散的度量量为标准。从概念上来说，度量是有限的，离散的概念，是我们用来描述有限事物的尺度，你可以用光年，公里，米，厘米毫米等等，多小都有一个尺度而且可以去定义和度量，但是芝诺在这里，对一段有限长度的距离，试图去用无限缩小的尺度度量单位去度量之。从数学上来说，如果一段距离被无穷次划分，那一定不会是以一个离散的度量量为标准，因为你没法确定一个无穷事物的划分的点在哪里，比如说二分数轴，数字量为标准，对于任意一个确定的数字来说到底是左边数字多呢，还是右边数字多？这说明空间在度量单位的意义上，不是离散的，而是连续的。就像是计算机中用离散的数字信号来模拟现实世界中的连续事物一样，一定会有失真但是可以极大程度上还原接近。阿基里斯和飞矢不动的悖论中是类似的，区别是这里还假设了时间的离散，把时空两个连续的概念联系在一起分割开来去研究问题。

第四个运动场的例子，亚力士多德用相对运动的理论来反驳。这里我们还用离散的观点来讨论，芝诺想通过三列物体在离散的时空结构中的运动揭示运动是不可能的，在时空的离散结构中，因为讨论对比的系统是割裂的，所以必然要出现一个时间单元等于两个时间单元之类的问题。

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