前言

拉格朗日插值可以出的很难，对于一个 nnn 阶多项式，可以优化成 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)
但是需要 FFTFFTFFT 等知识点，博主比较菜就只能搞搞入门的了 (哭)
基础的高斯消元法可以 O(n3)O(n^3)O(n3) 求解 nnn 阶多项式，但是貌似不够用呀
这时就出现了 O(n2)O(n^2)O(n2) 的拉格朗日插值！
对于能求出 f(i),∀i∈[1,n]f(i),\forall i\in[1,n]f(i),∀i∈[1,n]，我们用 差分法 还可以化简到 O(n)O(n)O(n)

引入

【题目描述】【模板】拉格朗日插值 | 洛谷 P4781
有 nnn 个不同点，给定他们的坐标 (xi,yi)(x_i,y_i)(xi,yi)
由于他们的横坐标都不相同，因此他们可以唯一确定一个 n−1n-1n−1 阶的多项式 P(x)P(x)P(x)
给定 kkk ，你的任务是求出 P(k)P(k)P(k) 取模 998244353998244353998244353
【数据范围】
1≤n≤2×1031\le n\le 2\times10^31≤n≤2×103
1≤xi,yi,k<9982443531\le x_i,y_i,k<9982443531≤xi,yi,k<998244353

⌈\lceil⌈拉格朗日插值⌋\rfloor⌋

我们知道多项式可以表示为 P(x)=∑aixiP(x)=\sum a_ix^iP(x)=∑aixi。
很神奇的，我们想构造出一个函数来表示这个 P(x)P(x)P(x)
我们设一个函数：
li(x)=∏j=0,j≠inx−xjxi−xjl_i(x)=\prod_{j=0,j\ne i}^n\cfrac{x-x_j}{x_i-x_j}li(x)=j=0,j=i∏nxi−xjx−xj
这个函数有什么性质呢？有一下两个性质：
（1）∀i∈[0,n]，li(xi)=1\forall i\in[0,n]，l_i(x_i)=1∀i∈[0,n]，li(xi)=1
（2）∀i,j∈[0,n],i≠j，li(xj)=0\forall i,j\in[0,n],i\ne j，l_i(x_j)=0∀i,j∈[0,n],i=j，li(xj)=0
接下来，我们就能直接构造出 P(x)P(x)P(x)了：
P(x)=∑i=0nyili(x)P(x)=\sum_{i=0}^n y_il_i(x) P(x)=i=0∑nyili(x)
为啥这个多项式保证是正确的呢？因为我们有：
∀i∈[0,n]，P(xi)=yi\forall i\in[0,n]，P(x_i)=y_i∀i∈[0,n]，P(xi)=yi，保证成立。

代码

时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)

const int MAX = 2e3+50;
const ll  MOD = 998244353;ll qpow(ll a,ll n){/* */ll res = 1LL;while(n){if(n&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;n>>=1;}return res;}
ll inv(ll a){/* */return qpow(a,MOD-2);}ll X[MAX],Y[MAX];int main()
{int n;ll k;cin >> n >> k;for(int i = 0;i < n;++i){cin >> X[i] >> Y[i];}ll res = 0;for(int i = 0;i < n;++i){ll num = Y[i];ll den = 1;for(int j = 0;j < n;++j){if(i != j){num = num * (k - X[j]) % MOD;den = den * (X[i] - X[j]) % MOD;}}num = (num + MOD) % MOD;den = (den + MOD) % MOD;res = (res + num % MOD * inv(den) % MOD) % MOD;}cout << res;return 0;
}

⌈\lceil⌈拉格朗日插值⌋\rfloor⌋差分法运用

【题目描述】The Sum of the k-th Powers | CF 622F
给定 n、kn、kn、k，求：
∑i=1nik\sum_{i=1}^ni^k i=1∑nik
【数据范围】
1≤n≤1091\le n\le 10^91≤n≤109
1≤k≤1061\le k\le 10^61≤k≤106
【思路】
这下阶为 1e61e61e6了，O(k2)O(k^2)O(k2) 已经不适用了。
我们如果算出前面一些 xix_ixi 和 yiy_iyi，想快速算 li(n)l_i(n)li(n)，怎么办呢？
如果我们令 xi=ix_i=ixi=i，那么式子会变成下面的样子：
li(n)=∏j=1,j≠ikn−ji−jl_i(n)=\prod_{j=1,j\ne i}^k\cfrac{n-j}{i-j} li(n)=j=1,j=i∏ki−jn−j
（1）对于分子，我们只要预处理出一个前缀积和后缀积，即可快速算。
令 pre(i)=∏j=1in−jpre(i)=\prod_{j=1}^i n-jpre(i)=∏j=1in−j，suf(i)=∏j=ikn−jsuf(i)=\prod_{j=i}^k n-jsuf(i)=∏j=ikn−j
那么分子就是 pre(i−1)×suf(i+1)pre(i-1)\times suf(i+1)pre(i−1)×suf(i+1)
（2）对于分母，容易想到就是一个 断开的阶乘，就是 fac[i−1]×fac[k−i]fac[i-1]\times fac[k-i]fac[i−1]×fac[k−i]
不过要注意一下，因为当 j>ij>ij>i 时，后面每一项都为负数。若 k−ik-ik−i是一个奇数，那么后面会多一个负号。
P(n)=∑i=1kyi×pre(i−1)×suf(i+1)fac[i]×fac[k−i]×(−1)k−iP(n)=\sum_{i=1}^ky_i\times\cfrac{pre(i-1)\times suf(i+1)}{fac[i]\times fac[k-i]}\times(-1)^{k-i} P(n)=i=1∑kyi×fac[i]×fac[k−i]pre(i−1)×suf(i+1)×(−1)k−i
这下，时间复杂度变为线性的了！

代码

342Ms/2000Ms342Ms/2000Ms342Ms/2000Ms
时间复杂度：O(k)O(k)O(k)

/*_            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|__/ ||___/
*/
const int MAX = 1e6+50;
const ll  MOD = 1e9+7;ll qpow(ll a,ll n){/* */ll res = 1LL;while(n){if(n&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;n>>=1;}return res;}
ll inv(ll a){/* */return qpow(a,MOD-2);}ll Y[MAX];
ll fac[MAX];
ll ivfac[MAX];
ll pre[MAX],suf[MAX];
void init(ll n,ll k){fac[0] = 1;pre[0] = 1;for(int i = 1;i <= k;++i){fac[i] = (fac[i-1] * i) % MOD;pre[i] = pre[i - 1] * (n - i) % MOD;}ivfac[k] = inv(fac[k]);suf[k+1] = 1;          /// 注意一下，不存在的话设为 1suf[k] = n - k;for(int i = k - 1;i >= 0;--i){ivfac[i] = ivfac[i + 1] * (i + 1) % MOD;suf[i] = suf[i + 1] * (n - i) % MOD;}
}
int main()
{ll n,k;cin >> n >> k;k += 2;         /// 因为是 k+2 阶的多项式init(n,k);ll sum = 0;for(int i = 1;i <= k;++i){sum  = (sum + qpow(i,k - 2)) % MOD;Y[i] = sum;if(n == i){cout << sum;return 0;}}ll res = 0;for(int i = 1;i <= k;++i){ll num = Y[i] * pre[i - 1] % MOD * suf[i + 1] % MOD;ll den = ivfac[i - 1] * ivfac[k - i] % MOD;if((k - i) % 2 == 1)den = -den;res = (res + num * den) % MOD;}res = (res + MOD) % MOD;cout << res;return 0;
}

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