《算法竞赛进阶指南》0x05 T3 七夕祭

题目描述

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。
于是 TYVJ 今年举办了一次线下七夕祭。
Vani 同学今年成功邀请到了 cl 同学陪他来共度七夕，于是他们决定去 TYVJ 七夕祭游玩。
TYVJ 七夕祭和 11 区的夏祭的形式很像。
矩形的祭典会场由 NNN 排 MMM 列共计 N×MN×MN×M 个摊点组成。
虽然摊点种类繁多，不过 cl 只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。
Vani 预先联系了七夕祭的负责人 zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多，并且各列中 cl 感兴趣的摊点数也一样多。
不过 zhq 告诉 Vani，摊点已经随意布置完毕了，如果想满足 cl 的要求，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。
两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。
由于 zhq 率领的 TYVJ 开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。
现在 Vani 想知道他的两个要求最多能满足多少个。
在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

输入格式

第一行包含三个整数 NNN 和 MMM 和 TTT，TTT 表示 cl 对多少个摊点感兴趣。
接下来 TTT 行，每行两个整数 x,yx,yx,y，表示 cl 对处在第 xxx 行第 yyy 列的摊点感兴趣。

输出格式

首先输出一个字符串。
如果能满足 Vani 的全部两个要求，输出 both；
如果通过调整只能使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多，输出 row；
如果只能使各列中 cl 感兴趣的摊点数一样多，输出 column；
如果均不能满足，输出 impossible。
如果输出的字符串不是 impossible，接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一个空格隔开。

题解

首先思考造成四种情况的条件
由于要使每一行每一列的摊点数量相同
不难想到当摊点数量不为行或列的倍数时，就不能满足上述条件
也就可以通过很简单的运算判断出四种情况
进一步去思考，至少要换多少次摊点
现在的题目类似于一道经典的贪心题目：均分纸牌
先来考虑一下线性的均分纸牌问题
假设第i个人手中有cic_ici张牌，gig_igi为ccc的前缀和，M为要分成的份数，T为纸牌的总数，那么达成目标所需要的最少步数为∑i=1M∣i∗TM−gi∣\sum_{i=1}^{M}\lvert i*\frac{T}{M}-g_i\rvert∑i=1M∣i∗MT−gi∣
推导一下这个公式
当i=1i=1i=1，对于使它达到平均值需要的步数为∣TM−c1∣=∣TM−g1∣\lvert\frac{T}{M} - c_1\rvert=\lvert\frac{T}{M} - g_1\rvert∣MT−c1∣=∣MT−g1∣
当i=2i=2i=2，对于使它达到平均值需要的步数为∣TM−g1∣+∣TM−(c2−(TM−c1))∣=∣TM−g1∣+∣2∗TM−(c2+c1)∣=∣TM−g1∣+∣2∗TM−g2∣\lvert\frac{T}{M} - g_1\rvert+\lvert\frac{T}{M}-(c_2-(\frac{T}{M}-c_1))\rvert=\lvert\frac{T}{M} - g_1\rvert+\lvert2*\frac{T}{M}-(c_2+c_1)\rvert=\lvert\frac{T}{M} - g_1\rvert+\lvert2*\frac{T}{M}-g_2\rvert∣MT−g1∣+∣MT−(c2−(MT−c1))∣=∣MT−g1∣+∣2∗MT−(c2+c1)∣=∣MT−g1∣+∣2∗MT−g2∣
后面的可以自己再去推一下，就可以逐步推出上述的公式
那么我们再假设每个人手中的牌直接就减去了TM\frac{T}{M}MT，将这些值存到a数组中
并用s数组表示a数组的前缀和
显然可以通过上述公式得到以下公式：
最少步数即为∑i=1M∣si∣\sum_{i=1}^{M}\lvert s_i\rvert∑i=1M∣si∣
接下来我们来针对此题，思考环形均分纸牌
对于环形问题，就要想到一个重要的方法：破环成链
那么在何处将这个环断开呢
\假设在k号点将环断开
ak+1a_{k+1}ak+1的前缀和就变为了sk+1−sks_{k+1}-s_ksk+1−sk
ak+2a_{k+2}ak+2的前缀和就变为了sk+2−sks_{k+2}-s_ksk+2−sk
aMa_MaM的前缀和就变为了sM−sks_M-s_ksM−sk
a1a_1a1的前缀和就变为了s1+sM−sks_1+s_M-s_ks1+sM−sk
由此推导可以得出需要的最少步数为∑i=1M∣si−sk∣\sum_{i=1}^M\lvert s_i-s_k\rvert∑i=1M∣si−sk∣
很朴素的做法就是暴力枚举每一个点，假设在这个点断开，然后按线性的方法计算一遍需要的步数
这样做显然会超时
仔细观察公式，会发现这个公式已经被推成了货仓选址的模型
所以将kkk号点取中位数即为最优解

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
long long b[N],c[N],f[N];
long long n,m,t;
int x,y;
long long calc(long long a[N],int n)
{long long ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]-=t/n;f[i]=f[i-1]+a[i];}sort(f+1,f+n+1);for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(f[i]-f[(n+1)>>1]);return ans;
}
int main()
{cin>>n>>m>>t;for(int i=1;i<=t;i++){scanf("%d%d",&x,&y);b[x]++,c[y]++; }if(t%n==0&&t%m==0)printf("both %lld\n",calc(b,n)+calc(c,m));else if(t%n==0)printf("row %lld\n",calc(b,n));else if(t%m==0)printf("column %lld\n",calc(c,m));else puts("impossible");return 0;
}