数学-求和符号的性质

1. 单重求和

∑i=1nf(xi)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)\sum_{i=1}^nf(x_i)=f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n) i=1∑nf(xi)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)

1.1 性质1，提取公因式

若h(y,z)h(y,z)h(y,z)的取值和x无关，则有：
∑i=1nh(y,z)f(xi)=h(y,z)∑i=1nf(xi)\sum_{i=1}^nh(y,z)f(x_i)=h(y,z)\sum_{i=1}^nf(x_i) i=1∑nh(y,z)f(xi)=h(y,z)i=1∑nf(xi)
将变量iii写成xix_ixi更形象：
∑xih(y,z)f(xi)=h(y,z)∑xif(xi)\sum_{x_i}h(y,z)f(x_i)=h(y,z)\sum_{x_i}f(x_i) xi∑h(y,z)f(xi)=h(y,z)xi∑f(xi)
上面有了简写，实际上xi∈Xx_i \in Xxi∈X，X={x1,x2,⋯,xn}X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}X={x1,x2,⋯,xn}:
∑xi∈X通常可简写为∑xi，表示累加所有xi可取的值\sum_{x_i \in X}通常可简写为\sum_{x_i}，表示累加所有x_i可取的值 xi∈X∑通常可简写为xi∑，表示累加所有xi可取的值

2. 多重求和

以两重求和为例：
∑i=1n∑j=1mf(xi)h(yj)=f(x1)∑j=1mh(yj)+f(x2)∑j=1mh(yj)+⋯+f(xn)∑j=1mh(yj)=再展开就省略不写了\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(x_i)h(y_j)=f(x_1)\sum_{j=1}^mh(y_j)+f(x_2)\sum_{j=1}^mh(y_j)+\cdots+f(x_n)\sum_{j=1}^mh(y_j)=再展开就省略不写了 i=1∑nj=1∑mf(xi)h(yj)=f(x1)j=1∑mh(yj)+f(x2)j=1∑mh(yj)+⋯+f(xn)j=1∑mh(yj)=再展开就省略不写了

2.1 性质1，符号顺序可换

两重：

∑i=1n∑j=1mf(xi)h(yj)=∑j=1m∑i=1nf(xi)h(yj)\sum_{i=1}^n{\color{red} \sum_{j=1}^m}f(x_i)h(y_j)={\color{red} \sum_{j=1}^m}\sum_{i=1}^nf(x_i)h(y_j) i=1∑nj=1∑mf(xi)h(yj)=j=1∑mi=1∑nf(xi)h(yj)
注意，当某个求和的范围受另一个变量限制时，符号交换律就不适用了，如：
∑i=1n∑j=1if(xi)h(yj)≠∑j=1i∑i=1nf(xi)h(yj)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\color{red} i}f(x_i)h(y_j) {\color{red} \neq}\sum_{j=1}^ {\color{red} i}\sum_{i=1}^nf(x_i)h(y_j) i=1∑nj=1∑if(xi)h(yj)=j=1∑ii=1∑nf(xi)h(yj)
多重：
∑xi∑yj∑zkf1(xi)f2(yj)f3(zk)=∑zk∑yj∑xif1(xi)f2(yj)f3(zk)\sum_{x_i}\sum_{y_j}\sum_{z_k}f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)=\sum_{z_k}\sum_{y_j}\sum_{x_i}f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k) xi∑yj∑zk∑f1(xi)f2(yj)f3(zk)=zk∑yj∑xi∑f1(xi)f2(yj)f3(zk)
f1(xi)f2(yj)f3(zk)f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)f1(xi)f2(yj)f3(zk)可看做一个函数f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)f(x1,x2,x3)，则得到更通用的形式：

∑xi∑yj∑zkf(x1,x2,x3)=∑zk∑yj∑xif(x1,x2,x3)\sum_{x_i}\sum_{y_j}\sum_{z_k}f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{z_k}\sum_{y_j}\sum_{x_i}f(x_1,x_2,x_3) xi∑yj∑zk∑f(x1,x2,x3)=zk∑yj∑xi∑f(x1,x2,x3)
牢记可调换的前提：x,y,z的取值范围，相互没有影响。

2.1 性质2，符号可分别求

有时候，为了求解的方便，我们并不希望函数f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)f(x1,x2,x3)写成一个整体，而是拆开后分别求值。
∑xi∑yj∑zkf1(xi)f2(yj)f3(zk)=∑xif1(xi)∑yjf2(yj)∑zkf3(zk)\sum_{x_i}\sum_{y_j}\sum_{z_k}f_1(x_i)f_2(y_j)f_3(z_k)=\sum_{x_i}f_1(x_i)\sum_{y_j}f_2(y_j)\sum_{z_k}f_3(z_k) xi∑yj∑zk∑f1(xi)f2(yj)f3(zk)=xi∑f1(xi)yj∑f2(yj)zk∑f3(zk)
x,y,z的取值范围也要满足相互没有影响，可通过展开计算进行简单的证明。
上述性质的好处在于，可将复杂的问题分成三个部分分别计算，再求乘积。

(∑xif1(xi))(∑yjf2(yj))(∑zkf3(zk)){\color{red}(\sum_{x_i}f_1(x_i))} {\color{green}(\sum_{y_j}f_2(y_j))} {\color{blue}(\sum_{z_k}f_3(z_k))} (xi∑f1(xi))(yj∑f2(yj))(zk∑f3(zk))