过去有一种很普遍的说法是单精度浮点数的有效数字是6到7位。同时也有一个很普遍的问题就是：“6到7位是什么意思？到底是6位还是7位？”。现在似乎主流认知已经变成了单精度浮点数的有效数字就是7位。事实究竟是怎么样的？

先说结论

单精度浮点数可以保证7位10进制有效数字。如果一个数字用10进制表示时有效数字位数大于等于7位，那么用单精度浮点数记录的话，能确保至少正确记录前7位。
为什么说“至少”？比如，4294967296有10位10进制有效数字，但只有1位2进制有效数字(2进制表示是1后面32个0)。我们可以验证单精度浮点数是可以正确记录所有10位有效数字的。但上面只是特殊情况，对于随便给出的一个数，只有第7位和之前的有效数字是能确信正确的。

凭什么说就是7位，为什么不是6位、8位？

最简单的2进制的情况

首先，我假设我们知道一个单精度浮点数种有24位2进制的有效数字（不知道的同学，请先自行搜索IEEE 754)。很显然，对于有24位或者以上2进制有效数字的数，单精度浮点数能保证前24位。

再看看16进制

我们知道16进制的1位对应2进制的4位（不知道的同学，……姑且4位2进制数刚好有16种不同的情况）。2进制的24位刚好对应16进制的6位，也就是能保证6位16进制的有效数字。
但是假设我们只有23位2进制有效数字的话，那么我们就只能保证5位了。

接下来我们更具体地看一下。假设有16进制数87654321(16)87654321_{(16)}87654321(16)，我们可以写成8.7654321(16)×1678.7654321_{(16)} \times 16^78.7654321(16)×167。2进制的话，可以写成1000.0111′0110′0101′0100′0011′0010′0001(2)×2281000.0111'0110'0101'0100'0011'0010'0001_{(2)} \times 2^{28}1000.0111′0110′0101′0100′0011′0010′0001(2)×228如果我们只有24位2进制有效数字，则后面一部分有效数字无法记录，就成了1000.0111′0110′0101′0100′0011(2)×2281000.0111'0110'0101'0100'0011_{(2)} \times 2^{28}1000.0111′0110′0101′0100′0011(2)×228也就是8.76543(16)×1678.76543_{(16)} \times 16^78.76543(16)×167。如果再减少1位2进制有效数字的话1000.0111′0110′0101′0100′001(2)×2281000.0111'0110'0101'0100'001_{(2)} \times 2^{28}1000.0111′0110′0101′0100′001(2)×228我们将只有3位2进制数001能用来表示最后1位16进制有效数字。我们知道，3位2进制数只有8种不同情况，无法区分16进制1位数的16种情况。更具体地，比如这样我们无法区分8.76543(16)×1678.76543_{(16)} \times 16^78.76543(16)×167和8.76542(16)×1678.76542_{(16)} \times 16^78.76542(16)×167，因为它们的最后一位都会被表示成001。

可以看到，无法保证有效数字的某一位，意味着我们没办法区分这一位可能出现的所有情况。反过来，如果说我们能保证某一位，说明去掉这一位之前所用掉的2进制有效数字位数后，我们还能剩下足够的2进制位数来区分这一位可能出现的所有情况。

回过头看前面我们用1位2进制表示10位10进制有效数字的情况。1位2进制有效数字有可能表示出10位的10进制有效数字，但是要能区分出10位10进制数的所有情况，我们还是需要更多的2进制位。

万恶的10进制

如果能见到神的话，我一定要问他人为什么要长10个指头而不是8个——如果不能是16个的话……

下面我们要解决的问题是：去掉10进制某一位之前用掉的2进制有效数字后，我们怎么计算还剩下多少2进制位数。

高能预警：这将不是个整数。

我们知道3位2进制数有8种不同情况，4位2进制数有16种不同情况。而每位有10种情况的10进制要对应2进制的多少位？咱们姑且直接用这结果log210≈3.322log_210 \approx 3.322log210≈3.322对于单精度浮点数，第N位10进制有效数字后还有24−N×log21024 - N \times log_21024−N×log210个2进制位可用。如果说单精度浮点数能保证N位有效数字，意味着N位后刚好不再有足够的2进制位数能区分10种不同情况。可以很容看出，这个N应该是让N×log210N \times log_210N×log210不大于24的最大的整数。也就是N=⌊24log210⌋=7N = \lfloor {24 \over log_210} \rfloor = 7N=⌊log21024⌋=7最终，我们得出N是7。(⌊x⌋\lfloor x \rfloor⌊x⌋表示对xxx向下取整)

至此为止，我们知道了该如何计算有限位数的2进制有效数字能保证的10进制有效数字位数。比如我们还可以计算53位2进制有效数字的双精度浮点数可以保证的10进制位数是⌊53log210⌋=15\lfloor {53 \over log_210} \rfloor = 15⌊log21053⌋=15

正篇到此结束。

后记

这里开始，我不再保证能尽量说人话。

换个角度

因为有Mlog210=log22Mlog210=log102M{M \over log_210} = {log_22^M \over log_210} = log_{10}2^Mlog210M=log210log22M=log102M所以单精度浮点能保证的有效数字位数等价于2242^{24}224（也就是16777216）去掉最高位后的位数。很多人会说这个就是单精度浮点数能表示7位有效数字的原因。从这个角度解释也是可以的，但是直接这么下结论跳过的步骤太多了。而且从这角度解释铺垫起来会麻烦很多。

“至少”的问题

为了方便，我们看16进制。

这个问题用24位有效数字不太好说，我们看23位。上面说了2进制23位是可以确保16进制的5位的。但是1.2345678(16)×167=1.0010′0011′0100′0101′0110′0111′1000(2)×2281.2345678_{(16)} \times 16^7 = 1.0010'0011'0100'0101'0110'0111'1000_{(2)} \times 2^{28}1.2345678(16)×167=1.0010′0011′0100′0101′0110′0111′1000(2)×228保留23位有效数字是1.0010′0011′0100′0101′0110′01(2)×228=1.234564×1671.0010'0011'0100'0101'0110'01_{(2)} \times 2^{28} = 1.234564 \times 16^71.0010′0011′0100′0101′0110′01(2)×228=1.234564×167好像出来了6位。应该很容易注意到，这里16进制的最高位只占用了2进制的1位，所以后面多了3位可用。

所以计算第N位还能使用的2进制位数，不是简单的用总的2进制位数，减去(N−1)×4(N - 1) \times 4(N−1)×4。而应该是减去第1位使用的2进制位数后，再减(N−2)×4(N - 2) \times 4(N−2)×4。

你可能觉得这样我们前面的方法就不准确的了，其实不然。因为我们要计算的是位数最少的情况，而这样只会让位数变多。

除了最开始提到的特殊情况，这是单精度浮点数正确表示超过7位10进制有效数字的更普遍的一种特殊情况。当然，这样最多只能表示出8位。

非整数的位数是什么鬼

拿10进制来讲，我们可以说第N位和10N10^N10N是对应的。比如我们想把3往左移动2位，就可以3×102=3003 \times 10^2 = 3003×102=300。于是往左移动半位也就是3×100.5=310≈9.4873 \times 10^{0.5} = 3 \sqrt {10} \approx 9.4873×100.5=310≈9.487
前面10进制1位对应2进制log210≈3.322log_210 \approx 3.322log210≈3.322。很显然2log210=102^{log_210} = 102log210=10

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