Delaunay Triangulation

转载自：http://www.tanglei.name/points-in-plane-with-delaunay-triangulation/

作业中遇到三角剖分的问题，关键字”三角剖分”出来最多的就是”Delaunay”三角剖分，整理了下相关资料，记录备忘。

1.三角剖分与Delaunay剖分的定义

2. Delaunay剖分的算法

3. Bowyer-Watson算法 VS Lawson 算法

1.三角剖分与Delaunay剖分的定义

如何把一个散点集合剖分成不均匀的三角形网格，这就是散点集的三角剖分问题，散点集的三角剖分，对数值分析以及图形学来说，都是极为重要的一项预处理技术。该问题图示如下：

1.1 三角剖分定义

三角剖分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：
1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。
2.没有相交边。
3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散点集V的凸包(在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈)。

1.2. Delaunay三角剖分的定义

在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的三角剖分。

Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。

1.3.Delaunay三角剖分的准则

要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则：

1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。如下图所示：

2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay 三角网是”最接近于规则化的”的三角网。具体的说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。(如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大，从这个意义上讲，Delaunay三角网是”最接近于规则化”的三角网。)如下图所示：

最大化最小角特性是区分平面点集Delaunay三角剖分于高维点集所特有的性质。正式这一特性，delaunay剖分总是能尽可能避免病态三角形的出现，自动向等边三角形靠近，注意仅适用于平面点集，三维或者更高的delaunay三角剖分不具有相应的性质 (周知.三角剖分算法研究[D].哈尔滨理工大学,2007.)

1.4.Delaunay三角剖分的特性

最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。
唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。（注意：出现四个或者更多的节点共外接圆的特殊情况时，delaunay三角划分不唯一[王成恩，2011]）
最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。
最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。
区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。
凸包性：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。

1.5.局部最优化处理

理论上为了构造Delaunay三角网，Lawson提出的局部优化过程LOP(Local Optimization Procedure)，一般三角网经过LOP处理，即可确保成为Delaunay三角网，其基本做法如下所示：

将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。
以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。
如果在，修正对角线即将对角线对调，即完成局部优化过程的处理。

LOP处理过程如下图所示：

2.Delaunay剖分的算法

Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。本文讲的是逐点插入的两种算法。

2.1.Lawson算法

逐点插入的Lawson算法是Lawson在1977年提出的，该算法思路简单，易于编程实现。基本原理为：首先建立一个大的三角形或多边形，把所有数据点包围起来，向其中插入一点，该点与包含它的三角形三个顶点相连，形成三个新的三角形，然后逐个对它们进行空外接圆检测，同时用Lawson设计的局部优化过程LOP进行优化，即通过交换对角线的方法来保证所形成的三角网为Delaunay三角网。

上述基于散点的构网算法理论严密、唯一性好，网格满足空圆特性，较为理想。由其逐点插入的构网过程可知，遇到非Delaunay边时，通过删除调整，可以构造形成新的Delaunay边。在完成构网后，增加新点时，无需对所有的点进行重新构网，只需对新点的影响三角形范围进行局部联网，且局部联网的方法简单易行。同样，点的删除、移动也可快速动态地进行。但在实际应用当中，这种构网算法当点集较大时构网速度也较慢，如果点集范围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法三角形。

Lawson算法的基本步骤是：

构造一个超级三角形，包含所有散点，放入三角形链表。(求解离散点集的凸包，建立点集凸包边界节点的初始Delaunay三角剖分)
将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出包含插入点的三角形（只是点在内部，不是外接圆），将插入点同此三角形的全部顶点连接起来，构成三个小三角形。
分别构造没个小三角形的外接圆，检测外接圆是否包含其他三角形顶点，如果三个三角形外接圆均不包含，则继续第二步插入新的点。若某个新三角形包含其他三角形顶点，则采用互换对角线方式形成新的局部Delaunay三角形，再判断新形成的局部delaunay三角形是否包含其他三角形顶点，直至新形成的局部delaunay三角形不包含其余三角形顶点。
循环执行上述第2步，直到所有散点插入完毕。

最后删除超级三角形相关联的三角形即可。

2.2 Bowyer-Watson算法

Bowyer算法由英国Bath大学的Bowyer在1981年提出。算法首先构造离散点集的的若干离散点的Voronoi图，根据Voronoi领域准则连接临近点，得到初始Delaunay三角剖分，然后逐步加入剖分点，每加入一个点就对已有的Voronoi图进行修改，构造新点集的Voronoi图，直到所有点都插入完毕。具体论文是这篇Computing Dirichlet Tesselations。

Watson算法由澳大利亚悉尼大学Watson在1981年提出。算法采用空外接圆准则，直接从三角剖分入手。算法从初始三角划分开始，每加入一个离散点，找出所有外接圆包含此点的三角形，删除这些三角形面向该插入点的边，得到包含此点的多边形，将此点与多边形的定点连接就构成新的Delaunay三角剖分，重复此过程直至所有点插入完毕为止。注意，此算法当四点或以上共圆时将产生错误。论文是这篇Computing the n-Dimensional Delaunay Tessellation with Application to Voronoi Polytopes。

Bowyer-Watson算法是根据上述两者算法相互补充改进得到的(貌似跟Watson算法差不多，具体可以参考上述两篇论文)，仍然是一种插点增量算法的一种。算法逻辑如下：

求解离散点集的凸包，建立点集凸包边界节点的初始三角形划分；
选择另外的离散点，插入指定位置，在已有的三角形中找出外接圆包含此点的三角形，并删除公共边，得到一个包含新插入点的多边形；
将此点与多边形的其他顶点连接起来，构成新的三角形划分；
重复插点知道所有点插入完毕。

最后删除超级三角形相关联的三角形即可。

3.Bowyer-Watson算法 VS Lawson 算法

Bowyer-Watson算法和Lawson 算法区别和联系。

3.1 Bowyer-Watson Algorithm

form super triangle, enclosing all points p in V
as long as not all vertices of V have been treated, do:

1. insert vertex p in V into triangulation

2. find circumcircles containing p with corresponding triangles

3. remove triangles to get insertion polygon

4. retriangulate insertion polygon by simply adding edges to p

remove super triangle

3.2 Lawson Algorithm

form super triangle, enclosing all points p in V
as long as not all vertices of V have been treated, do:

1. insert vertex p in V into triangulation

2. triangulate new p (draw edges to p from enclosing triangle, creating traingles)

3. for all new triangles t created recursively:

check circumcircle of t, if containing neighbouring vertex,，flip

remove super triangle

参考资料：

http://baike.baidu.com/view/1691145.htm

周知.三角剖分算法研究[D].哈尔滨理工大学,2007.

Henrik Zimmer. Voronoi and Delaunay Techniques.2005

面向科学计算的网格划分与可视化技术