一、三维空间基转换

1.绕原点旋转

二维坐标旋转可以用矩阵表示：

设有向量 $\textbf{\emph{v}} = (x,y)^T=\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}$ ，那么当向量 $\textbf{\emph{v}}$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 度，那么旋转矩阵为 $T= \begin{bmatrix} cos\theta &-sin\theta\\ sin\theta &cos\theta \end{bmatrix}$ 。

推导略。

注：向量 $\textbf{\emph{v}}$ 是列向量，因此旋转后的向量为： $\tilde{\textbf{\emph{v}}} = T\textbf{\emph{v}}$

旋转矩阵可以推广至更高维度的空间，以三维空间为例：

设有向量 $\textbf{\emph{v}} = (x,y,z)^T=\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}$ ，那么当向量 $\textbf{\emph{v}}$ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 度时，相当于在向量 $\textbf{\emph{v}}$ 在一个平行于 $xOy$ 平面的的二维空间中，绕原点旋转，旋转后 $z$ 坐标保持不变，那么旋转矩阵可以改为：

$T_z= \begin{bmatrix} cos\theta_z &-sin\theta_z &0\\ sin\theta_z & cos\theta_z & 0\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}$

向量 $\textbf{\emph{v}}$ 绕 $x$ 轴和 $y$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 度的旋转矩阵为：

$T_x= \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &cos\theta_x &-sin\theta_x\\ 0 &sin\theta_x & cos\theta_x \end{bmatrix}$

$T_y= \begin{bmatrix} cos\theta_y &0 &-sin\theta_y\\ 0 &1 &0 \\ sin\theta_y & 0 &cos\theta_y \end{bmatrix}$

因此向量 $\textbf{\emph{v}}$ 在三维空间中，绕原点旋转任意角度，可由以上三个旋转矩阵连乘得到，即：

$T = T_zT_yT_z$

2.绕特定点旋转

二维空间中绕特定 $\textbf{\emph{c}}=(x_c,y_c)^T= \begin{bmatrix} x_c\\ y_c \end{bmatrix}$ 旋转可以用以下矩阵乘法表示：

$\tilde{\textbf{\emph{v}}} = \begin{bmatrix} 1&0&x_c\\ 0&1&y_c\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta &-sin\theta &0\\ sin\theta &cos\theta &0\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&-x_c\\ 0&1&-y_c\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \textbf{\emph{v}} = \begin{bmatrix} \Lambda & \textbf{\emph{c}}\\ O &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T' & O\\ O &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Lambda & -\textbf{\emph{c}}\\ O &1 \end{bmatrix} \textbf{\emph{v}}$

其中向量 $\textbf{\emph{v}}$ 用齐次坐标表示，即 $\textbf{\emph{v}} = (x,y,1)^T=\begin{bmatrix} x\\y\\1\end{bmatrix}$ ， $T'= \begin{bmatrix} cos\theta &-sin\theta\\ sin\theta &cos\theta \end{bmatrix}$ 。

三个矩阵从右至左的含义分别是：

$\begin{bmatrix} \Lambda & -\textbf{\emph{c}}\\ O &1 \end{bmatrix}$ ：平移向量使得空间以 $\textbf{\emph{c}}$ 为原点

$\begin{bmatrix} T' & O\\ O &1 \end{bmatrix}$ ：绕原点 $\textbf{\emph{c}}$ 旋转

$\begin{bmatrix} \Lambda & \textbf{\emph{c}}\\ O &1 \end{bmatrix}$ ：还原空间的原点

推导略。

推广至三维空间，绕特定点 $\textbf{\emph{c}}=(x_c,y_c,z_c)^T= \begin{bmatrix} x_c\\ y_c\\z_c \end{bmatrix}$ 旋转可以表示为：

$\tilde{\textbf{\emph{v}}} = \begin{bmatrix} 1&0 &0 &x_c\\ 0&1 &0 &y_c\\ 0&0 &1 &z_c\\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} T_{xyz} \begin{bmatrix} 1&0 &0 &-x_c\\ 0&1 &0 &-y_c\\ 0&0 &1 &-z_c\\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} \textbf{\emph{v}} = \begin{bmatrix} \Lambda & \textbf{\emph{c}}\\ O &1 \end{bmatrix} T_{xyz} \begin{bmatrix} \Lambda & -\textbf{\emph{c}}\\ O &1 \end{bmatrix} \textbf{\emph{v}}$

其中

$\begin{align*} T_{xyz}&= \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0\\ 0 &cos\theta_x &-sin\theta_x &0\\ 0 &sin\theta_x & cos\theta_x &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta_y &0 &-sin\theta_y &0\\ 0 &1 &0 &0\\ sin\theta_y & 0 &cos\theta_y &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta_z &-sin\theta_z &0 &0\\ sin\theta_z &cos\theta_z & 0 &0\\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} cos\theta_ycos\theta_z &-cos\theta_y sin\theta_z &-sin\theta_y & 0\\ cos\theta_x sin\theta_z - sin\theta_x sin\theta_y cos\theta_z & cos\theta_x cos\theta_z + sin\theta_x sin\theta_y sin\theta_z & -sin\theta_x cos\theta_y & 0\\ sin\theta_x sin\theta_z + cos\theta_x sin\theta_y cos\theta_z & sin\theta_x cos\theta_z - cos\theta_x sin\theta_y sin\theta_z & cos\theta_x cos\theta_y & 0\\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} \end{align*}$

二、视锥体成像

1.视点空间中的视椎体成像

如下图所示，在一个视点空间 $\mathbb{R}^3_s$ 中有一根棍子（线段） $AB$ ，其中 $A=(x_A, y_A, z_A)$ 和 $B=(x_B, y_B, z_B)$ ，点 $S=(x_S,y_S,z_S)$ 为视点，平面 $xoy|_{z=z_0}$ 为成像平面， $A'$ $B'$ 为棍子 $AB$ 在视平面上的成像。

注：视点空间 $\mathbb{R}^3_s$ 是一个左手系的三维线性空间

由于点 $A'$ 和点 $B'$ 分别是点 $S$ 和点 $A$ 和点 $B$ 的线性组合，因此视线 $SA$ 和 $SB$ 的空间可以表示为

$\begin{matrix} &\textbf{A}=(\textbf{x}_A,\textbf{y}_A,\textbf{z}_A)=S+k_A(A-S)\\&\textbf{B}=(\textbf{x}_B,\textbf{y}_B,\textbf{z}_B)=S+k_B(B-S)\end{matrix}$ 即

$\begin{align*} &\textbf{x}_A = x_S+k_A(x_A-x_S)\\ &\textbf{y}_A= y_S+k_A(y_A-y_S)\\ &\textbf{z}_A = z_S+k_A(z_A-x_S)\\ \end{align*} \qquad \begin{align*} &\textbf{x}_B = x_S+k_B(x_B-x_S)\\ &\textbf{y}_B= y_S+k_B(y_B-y_S)\\ &\textbf{z}_B = z_S+k_B(z_B-z_S)\\ \end{align*} \qquad\qquad(1)$

当 $k_A=\frac{|S-A'|}{|S-A|}=\frac{|z_S-z_0|}{|z_S-z_A|}, k_B=\frac{|S-B'|}{|S-B|}=\frac{|z_S-z_0|}{|z_S-z_B|}$ 时（ $z_0$ 为视平面 $xoy|_{z=z_0}$ 在三维空间中的 $z$ 坐标），便能得到 $AB$ 在成像平面 $xoy|_{z=z_0}$ 上的成像。

根据以上可以得出，视点空间中一个物体的成像和两个因素有关：视线（视点和物体的连线）与视平面的相对角度（直接决定在物体在三维空间中的坐标），视平面在物体和视点间的相对位置（即 $k$ ）

如果将视点 $S$ 平移至原点 $(0,0,0)$ ，即如下图所示：

那么等式组(1)可以简化为

$\begin{matrix} &x'_A = k_Ax_A\\ &y'_A= k_Ay_A\\ &z'_A =k_Az_A\\ \end{matrix} \qquad \begin{matrix} &x'_B = k_Bx_B\\ &y'_B=k_By_B\\ &z'_B = k_Bz_B\\ \end{matrix} \qquad\qquad(2)$

其中 $k_A=\frac{|A'|}{|A|}=\frac{|z_0|}{|z_A|}, k_B=\frac{|B'|}{|B|}=\frac{|z_0|}{|z_B|}$ ，因此可以得出：

$\begin{align*} x'_A&=\frac{x_Az_0}{z_A}\\ y'_A&=\frac{y_Az_0}{z_A}\\ z'_A&=z_0 \end{align*} \qquad\qquad\begin{align*} x'_B&=\frac{x_Bz_0}{z_B}\\ y'_B&=\frac{y_Bz_0}{z_B}\\ z'_B&=z_0 \end{align*}$

在成像平面 $xoy|_{z=z_0}$ 上，点 $A'=(x'_A, y'_A)$ 和 $B'=(x'_B, y'_B)$ 即平面成像。

一般情况下， $z_0\in (0, min(z_i)), \quad k_i \in (0, 1)$ ，即成像屏幕介于视点和物体之间。

2.透视效果

下图是一个二维空间中的成像示意图，视点为 $s$ ，成像平面为 $\textbf{S}$ ，蓝色实线代表两个离视点距离不同，但是大小相同的物体，蓝色虚线为实际成像，图(a)为正射投影，图(b)为视锥体投影。

从对比图中可以看到，两个一样的物体（物体形状及物体与视平面的角度均一致）在视平面上的正射投影是一致的，但是视椎体投影会因为距离的原因而出现不同的成像，这种现象就是透视效果（近大远小）。

当等式组（2）中的 $k_i\rightarrow 0\quad(z_0\rightarrow 0)$ 时，即成像屏幕与物体的距离趋向于无穷远时，视椎体投影的比例和正射投影一致，证明略。

3.物体空间到视点空间的转换

物体空间 $\mathbb{R}^3$ 是一个服从右手系的三维空间，蓝色平面为地面，如下图所示：

下图（b）为视点空间，图（a）是成像平面，图（c）为物体空间。

物体空间中的物体映射到视点空间主要有两部操作：

STEP1 翻转 $z$ 轴

STEP2 绕 $x$ 轴逆时针旋转 $\pi/2$

可以通过转换矩阵实现

$\begin{align*} T&= \begin{bmatrix} cos\theta_ycos\theta_z &-cos\theta_y sin\theta_z &-sin\theta_y & 0\\ cos\theta_x sin\theta_z - sin\theta_x sin\theta_y cos\theta_z & cos\theta_x cos\theta_z + sin\theta_x sin\theta_y sin\theta_z & -sin\theta_x cos\theta_y & 0\\ sin\theta_x sin\theta_z + cos\theta_x sin\theta_y cos\theta_z & sin\theta_x cos\theta_z - cos\theta_x sin\theta_y sin\theta_z & cos\theta_x cos\theta_y & 0\\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

其中 $\theta_x = -\frac{\pi}{2},\quad\theta_y =\theta_z =0$ ，即：

$T & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

三、总结

当需要计算一个三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中的物体 $A_1$ 的二维成像，只需要进行以下两步操作，如下图所示：

STEP1：通过基转换把物体 $\mathbb{R}^3$ 中的物体 $A_1$ 转换至视点坐标系 $\mathbb{R}^3_s$ 中，得到物体 $A$ ，即：

$A_1 &= \begin{bmatrix} x^1_1 &y^1_1 &z^1_1&0\\ x^1_2 &y^1_2 &z^1_2&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ x^1_n &y^1_n &z^1_n &0\\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\\$

$\begin{align*} A &= A_1T= \begin{bmatrix} x_1 &y_1 &z_1 &0\\ x_2 &y_2 &z_2 &0\\ &...&\\ x_n &y_n &z_n &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{bmatrix} \end{align*}$

其中 $T & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

STEP2：在视点坐标系 $\mathbb{R}^3_s$ 中，计算物体 $A'$ 在成像屏幕 $\textbf{S}|_{z=z_0}$ 处的成像，即： $A' = z_0\begin{bmatrix} \frac{1}{z_1 } &0 &\cdots &0\\ 0 & \frac{1}{z_2 } &\cdots &0\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ 0 &0 &\cdots& \frac{1}{z_n }\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 &y_1 &z_1\\ x_2 &y_2 &z_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ x_n &y_n &z_n \end{bmatrix} = \begin{align*} \begin{bmatrix} x'_1 &y'_1 &z'_0\\ x'_2 &y'_2 &z'_0\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ x'_n &y'_n &z'_0 \end{bmatrix} \end{align*}$

四、PYTHON实现

# -*- coding:utf-8 -*-import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Ddef trans_base(x, y, z):# 计算三维空间中的旋转矩阵Txyz = np.array([[np.cos(y) * np.cos(z), -np.cos(y) * np.sin(z), -np.sin(y), 0],[np.cos(x) * np.sin(z) - np.sin(x) * np.sin(y) * np.cos(z),np.cos(x) * np.cos(z) + np.sin(x) * np.sin(y) * np.sin(z),-np.sin(x) * np.cos(y), 0],[np.sin(x) * np.sin(z) + np.cos(x) * np.sin(y) * np.cos(z),np.sin(x) * np.cos(z) - np.cos(x) * np.sin(y) * np.sin(z),np.cos(x) * np.cos(y), 0],[0, 0, 0, 1]])return Txyzdef gen_cube(a=1):# 生成一个以原点为中心,边长为a的正方体d = []X = np.linspace(a/2, -a/2, 2)for x1 in X:for x2 in X:for x3 in X:d.append([x1, x2, x3])return np.array(d)def to_hc(a):# 齐次坐标表示矩阵a = np.column_stack((a,np.zeros(a.shape[0])))r = np.zeros(a.shape[1])r[-1] = 1a = np.row_stack((a, r))return adef trans_cube(cube, x=0, y=0, z=0):# 旋转立方体x_ = x / 180 * np.piy_ = y / 180 * np.piz_ = z / 180 * np.piT = trans_base(x_, y_, z_)cube2 = to_hc(cube)c2 = np.dot(T, cube2.T).Treturn c2[:-1, :-1]def map_2d(cube, z0):# 在二维平面上计算视锥体投影cube_ = cube.copy()z0_ = max(z0, np.abs(cube_[:, 2].min()))   # 确保立方体不会被成像屏幕穿过cube_[:, 2] = cube_[:, 2] + z0_               # 平移立方体cube2 = np.dot(np.diag(z0_/cube_[:,2]), cube_)l = []for i in range(len(cube_)):for j in range(len(cube_)):d = cube_[i] - cube_[j]if d.dot(d)/1-1 < 1E-10:tc = np.array([cube2[i], cube2[j]])l.append(tc)return cube2, ldef plot_2d(cube, thetax, thetay, thetaz, d, color):# 旋转并投影cube_ = trans_cube(cube, thetax, thetay, thetaz)    # 为了更加生动，对立方体做了旋转cube_t = np.dot(trans_cube(cube_, -90, 0, 0), np.diag([1, 1, -1]))   # 从物体空间映射至视点空间cube_2d, edges = map_2d(cube_t, d)plt.scatter(x=cube_2d[:,0], y=cube_2d[:,1], color=color)for e in edges:plt.plot(e[:,0], e[:,1], c='grey', alpha=0.3)def plot_3d(cube, thetax, thetay, thetaz, color):# 立方体矩阵cube_ = trans_cube(cube, thetax, thetay, thetaz)    # 为了更加生动，对立方体做了旋转x, y, z = cube_[:,0], cube_[:,1], cube_[:,2]fig=plt.figure()ax2 = Axes3D(fig)ax2.scatter3D(x, y, z, color=color, s=30)for i in range(len(cube_)):for j in range(len(cube_)):# 绘制棱d = cube_[i] - cube_[j]if d.dot(d)/1-1 < 1E-10:tc = np.array([cube_[i], cube_[j]])tx, ty, tz = tc[:,0], tc[:,1], tc[:,2]ax2.plot3D(tx, ty, tz, alpha=0.3, c='grey', lw=2)fig.show()# 定义正方体顶角的颜色
color = ['red', 'orange', 'limegreen', 'cyan', 'blue', 'royalblue', 'purple', 'deeppink']# 生成立方体
cube = gen_cube(a=1)# 绘图
plot_3d(cube, 45, 45, 45, color)
plot_2d(cube, 45, 45, 45, 1.5, color)    # 近距离投影
plot_2d(cube, 45, 45, 45, 100, color)    # 远距离投影

下图是生成的立方体在三维空间中的呈现：

plot_2d函数会生成该立方体在视点空间中的视锥体投影，如下图所示（视距参数 $z_0=1.5$ ）：

如果把视距调远至100，则透视效果将会降低，视锥投影会逼近正射投影，如下图所示：

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