​

前言：对整数进制转换的理解

1.1进制理解

数制：也称为计数制，是一种计数的方法，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。在计数过程中采用进位的方法称为进位计数制（进制），包括数位、基数和位权三个要素。

数位：指数字符号在一个数中所处的位置。
基数：指在某种进位计数制中数位上所能使用的数字符号的个数。例如十进制的基数为10。
位权：数制中某一位上的1所表示数值的大小（所处位置的价值）。例如十进制的231，2的位权是100，3的位权是10，1的位权是1。

以2进制下的10011111为例：

首先10011111为二进制数，它的基数是2。那么计算位权的时候位权的底数是2。

数字	1	0	0	1	1	1	1	1
数位	8	7	6	5	4	3	2	1
位权	2 7 2^{7} 27	2 6 2^{6} 26	2 5 2^{5} 25	2 4 2^{4} 24	2 3 2^{3} 23	2 2 2^{2} 22	2 1 2^{1} 21	2 0 2^{0} 20

1.2如何转换？

1.2.1通法：

将b进制下的数转换为十进制下的数，再转换为目标进制下的数。

例如：
10011111的十进制表示是： 1 ∗ 2 7 + 0 ∗ 2 6 + 0 ∗ 2 5 + 1 ∗ 2 4 + 1 ∗ 2 3 + 1 ∗ 2 2 + 1 ∗ 2 1 + 1 ∗ 2 0 = 159 1*2^{7}+0*2^{6}+0*2^{5}+1*2^{4}+1*2^{3}+1*2^{2}+1*2^{1}+1*2^{0}=159 1∗27+0∗26+0∗25+1∗24+1∗23+1∗22+1∗21+1∗20=159
再将其转换为7进制下的数：

步骤	被除数	商	余数
1	159	22	5
2	22	3	1
3	3	0	3

注意商和被除数的更迭。

将余数反序记录为：315
即为所求7进制下的表示。
1.2.1特别转换
二进制、八进制、十六进制由于 2 3 = 8 2^{3}=8 23=8和 2 4 = 16 2^{4}=16 24=16的特殊关系，可以将二进制下的数从末位按三位一组（八进制）或四位一组（十六进制）直接进行转换对应的数字符。对应关系可参考下表：

二进制	八进制	十六进制	十进制
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	/	8	8
1001	/	9	9
1010	/	A	10
1011	/	B	11
1100	/	C	12
1101	/	D	13
1110	/	E	14
1111	/	F	15

---

---

问题 A: 5201 二进制位

题目描述

给定你一个十进制数n（0 < n < 1000），要求输出其二进制数。

输入

输入有多行，每行包括一个十进制的正整数n。

输出

输出对应的二进制数。

样例输入

1
2
3

样例输出

1
10
11

解析
思路梳理

读入数据后记录每次对2取的余数，并反序输出。

细节提示

reverse（）函数可以用于

1. 翻转数组：reverse（a,a+n）;
2. 翻转字符串：reverse(str.begin(),str.end());
3. 翻转向量：reverse(vec.begin(), vec.end());

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n;while(cin>>n){string s0;while(n>1){s0 += to_string(n % 2);n /= 2;}reverse(s0.begin(), s0.end());cout << n << s0 << endl;}return 0;
}

---

---

问题 B: 5202 二进制转化为十六进制

题目描述

输入一个2进制的数，要求输出该2进制数的16进制表示。在16进制的表示中，A-F表示10-15。

输入

第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个以0和1组成的字符串，字符串长度至少是1，至多是10000。

输出

n行，每行输出对应一个输入。

样例输入

2
100000
111

样例输出

20
7

解析
思路梳理

2进制转16进制可以以四位为一组进行转换。

细节提示

考虑到二进制数的长度至多有1000位，我们需要以字符串形式输入。且以四位为一组时应该从最右位开始分组。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n;cin >> n;while(n--){string num, s0, res;cin >> num;while(num.length()>=4){s0 = num.substr(num.length() - 4, 4);num = num.substr(0, num.length() - 4);int nx = (s0[0] - '0') * 8 + (s0[1] - '0') * 4 + (s0[2] - '0') * 2 + (s0[3] - '0');if(nx<10)res += to_string(nx);elseres.push_back(char(nx - 10 + 'A'));}reverse(res.begin(), res.end());if(num.length()==0)cout << res;else if (num.length() == 1)cout << num << res;else if(num.length() == 2)cout << (num[0] - '0') * 2 + (num[1] - '0') << res;else if(num.length()==3)cout << (num[0] - '0') * 4 + (num[1] - '0')*2+(num[2]-'0') << res;cout << endl;}return 0;
}

---

---

问题 C: 5203 周易II

题目描述

有人说，中国古代的“周易”是二进制系统的起源，在该系统中，他们用“- -”表示1，“—”表示0。因此，二进制数字“011010”可以表述为“—\n- -\n- -\n—\n- -\n—\n”（符号“\n”表示换行）。现在的问题是如何把一个“周易”中的二进制转换为相应的十进制数？

输入

文件中包含多组测试数据。每个测试数据都是以一个数字k (0 < k <= 20)开始，表示这个数在二进制中的位数。接下来就是k行，就是字符串—或- -，第1位表示最高位。

输出

对于每组测试数据，输出对应的十进制数。

样例输入

3
- -
- -
- -
3
---
---
---
6
---
- -
- -
---
- -
---

样例输出

7
0
26

解析
思路梳理

这题比较简单，思路和问题A差不多，比问题A还简单一些。

细节提示

实际进行数据测试时，如果直接使用st.compare("---")==0来判断字符会无法通过，可能是测试点中并不是每行都是---或者- -，但是前三个字符一定是符合的，所以建议使用st[0]=='-'&&st[1]=='-'&&st[2]=='-'判断。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 30;
int nx[N];
int main(){int n;while(scanf("%d ",&n)!=EOF){//多扫描一个空格避免换行存在int i = 0;while(n--){string st;getline(cin, st);if (st[0]=='-'&&st[1]=='-'&&st[2]=='-')nx[i++] = 0;else if(st[0]=='-'&&st[1]==' '&&st[2]=='-')nx[i++] = 1;}if(i>=1){long long ind = 1, res = 0;for (i-=1; i >= 0;i--){res += ind * nx[i];ind *= 2;}cout << res << endl;}else if(i==0)cout << 0 << endl;}return 0;
}

---

---

问题 D: 5204 二进制数

题目描述

给定一个正整数n，要求输出对应的二进制数中所有数码“1”的位置。注意最低位为第0位。例如13的二进制形式为1101，因此数码1的位置为：0,2,3。

输入

输入文件中的第1行为一个正整数d，表示输入文件中测试数据的个数，1<=d<=10，接下来有d个测试数据。每个测试数据占一行，只有一个整数n，1<=n<= 106。

输出

输出包括d行，即对输入文件中的每个测试数据，输出一行。第i行，1 <= i <= d，以升序的顺序输出第i个测试数据中的整数的二进制形式中所有数码1的位置，位置之间有1个空格，最后一个位置后面没有空格。

样例输入

2
13
127

样例输出

0 2 3
0 1 2 3 4 5 6

解析
思路梳理
先用n%2判断二进制位上是否是1，若是则输出此时的i值，i表示数位，每次进行n/=2后均增加1。
细节提示
注意最后一个数没有空格。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int d;cin >> d;while(d--){int n;cin >> n;int i = 0;while(n>0){int flag = 0;if(n%2==1){cout << i;flag = 1;}n /= 2;i++;if(n!=0&&flag)cout << " ";}cout << endl;}return 0;
}

---

---

问题 E: 5205 留下最少

题目描述

给定一个基数b，和b进制下的两个非负整数p和m，计算p%m，并输出b进制下的结果。p%m的结果被定义为非负整数k，要求k是满足p=a * m + k中的最小值（a为某些整数）。

输入

输入包含多组测试数据。每个测试数据占一行，由3个无符号的整数构成，第一个整数为b，一个介于2到10之间的十进制数。第二个为p，可能由1000位的0到b-1构成。第三位是m，由9位0到b-1构成。
最后一个测试数据为0，表示输入结束。

输出

对应每组测试数据，要求输出一行b进制下的p%m。

样例输入

2 1100 101
10 123456789123456789123456789 1000
0

样例输出

10
789

解析
思路梳理
由描述易知，m的值较小，可以用整型储存，所以可以直接定义一个长整型mx来作为m的数值。
利用定理： ( a + b ) m o d c = ( a m o d c + b m o d c ) m o d c (a+b)modc=(amodc+bmodc)modc (a+b)modc=(amodc+bmodc)modc
假如数p表示为561417，进制为8。则p的十进制表示为
5 ∗ 8 5 + 6 ∗ 8 4 + 1 ∗ 8 3 + 4 ∗ 8 2 + 1 ∗ 8 1 + 7 ∗ 8 0 = 189199 5*8^{5}+6*8^{4}+1*8^{3}+4*8^{2}+1*8^{1}+7*8^{0}=189199 5∗85+6∗84+1∗83+4∗82+1∗81+7∗80=189199
假设是对5取余数，此时有

• (561417)₈= ( 5 ∗ 8 5 + 6 ∗ 8 4 + 1 ∗ 8 3 + 4 ∗ 8 2 + 1 ∗ 8 1 + 7 ∗ 8 0 ) m o d 5 (5*8^{5}+6*8^{4}+1*8^{3}+4*8^{2}+1*8^{1}+7*8^{0})mod5 (5∗85+6∗84+1∗83+4∗82+1∗81+7∗80)mod5
• = ( 8 ∗ ( 5 ∗ 8 4 + 6 ∗ 8 3 + 1 ∗ 8 2 + 4 ∗ 8 1 + 1 ∗ 8 0 ) + 7 ∗ 8 0 ) m o d 5 (8*(5*8^{4}+6*8^{3}+1*8^{2}+4*8^{1}+1*8^{0})+7*8^{0})mod5 (8∗(5∗84+6∗83+1∗82+4∗81+1∗80)+7∗80)mod5
• = ( 8 ∗ ( 5 ∗ 8 4 + 6 ∗ 8 3 + 1 ∗ 8 2 + 4 ∗ 8 1 + 1 ∗ 8 0 ) m o d 5 + ( 7 ∗ 8 0 ) m o d 5 ) m o d 5 (8*(5*8^{4}+6*8^{3}+1*8^{2}+4*8^{1}+1*8^{0})mod5+(7*8^{0})mod5)mod5 (8∗(5∗84+6∗83+1∗82+4∗81+1∗80)mod5+(7∗80)mod5)mod5
• = ( ( 5 ∗ 8 4 + 6 ∗ 8 3 + 1 ∗ 8 2 + 4 ∗ 8 1 + 1 ∗ 8 0 ) m o d 5 + ( 7 ∗ 8 0 ) m o d 5 ) m o d 5 ((5*8^{4}+6*8^{3}+1*8^{2}+4*8^{1}+1*8^{0})mod5+(7*8^{0})mod5)mod5 ((5∗84+6∗83+1∗82+4∗81+1∗80)mod5+(7∗80)mod5)mod5
• =（（56141）₈ mod 5+（7）₈ mod 5 ）mod5
• =…
• =(（5）₈ mod 5 +（6）₈ mod 5 +（1）₈ mod 5 +（4）₈ mod 5 +（1）₈ mod 5 +（7）₈ mod 5）mod 5

也就是说，一个任意进制的数对x取余的结果等于其各个数位上的数对x取余的结果的和再对x取余。
利用这一点，我们可以依次对数p的各个位置上的数进行取余并与上一次取余运算结果相加再取余。也就是代码段

long long px = 0;
for (int i = 0; i < p.length();i++){px = px * b + p[i] - '0';px %= mx;}

的处理方式。
细节提示
注意输出时假如结果的px为0时的输出。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int b;string p, m;while(cin>>b){if (b == 0)break;else{cin >> p >> m;long long mx = 0;for (int i = 0; i < m.length();i++)mx = mx * b + m[i] - '0';long long px = 0;for (int i = 0; i < p.length();i++){px = px * b + p[i] - '0';px %= mx;}if(px==0)cout << 0 << endl;else{string ans;while(px>0){ans += to_string(px % b);px /= b;}reverse(ans.begin(), ans.end());cout << ans << endl;}}}return 0;
}

---

---

问题 F: 5206 进制转换

题目描述

编写程序，实现将一个数从一种进制转换到另一种进制。在这些进制中，可以出现的数码有62个：{0-9,A-Z,a-z}。

输入

输入文件的第1行是一个正整数N，表示测试数据的个数，接下来有N行，每行的格式为：输入数据的进制（用十进制表示），输出数据的进制（用十进制表示），最后一个是用输入数据的进制所表示的数。输入/输出数据的进制范围是2_{62，也就是说A}Z相当于十进制中的10_35，az相当于十进制中的36~61。

输出

对每个测试数据，程序输出3行，第1行是输入数据的进制，空格，然后是在该进制下的输入数据；第2行是输出数据的进制，空格，然后是在该进制下的输出数据；第3行为空行。

样例输入

8
62 2 abcdefghiz
10 16 1234567890123456789012345678901234567890
16 35 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2
35 23 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A
23 49 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05
49 61 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj
61 5 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S
5 10 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030

样例输出

62 abcdefghiz
2 1101110000010001011111001001011001111100100110001101001000110 1234567890123456789012345678901234567890
16 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD216 3A0C92075C0DBF3B8ACBC5F96CE3F0AD2
35 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A35 333YMHOUE8JPLT7OX6K9FYCQ8A
23 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F0523 946B9AA02MI37E3D3MMJ4G7BL2F05
49 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj49 1VbDkSIMJL3JjRgAdlUfcaWj
61 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S61 dl9MDSWqwHjDnToKcsWE1S
5 421044444410014144012213024022012333403111042120221330305 42104444441001414401221302402201233340311104212022133030
10 1234567890123456789012345678901234567890

解析
思路梳理
此题数据都比较大，建议按字符串输入后直接用数组储存各个位置上的数值大小。

核心代码
核心代码是通过模仿整除法的步骤来进行更迭循获得结果的。

        int k, val = 1;//定义一个val并赋值为1，赋值为1以保证进入while循环//val用于记录记录数据的数组nx中数位数值的和string ans;//ans用于记录每次除法的余数while (val != 0){val = 0;int nut = 0;//nut用于取从高位起的用来做除法的数。k = 0;nut = 0;for (i = 0; i < len;){nut = nut * in + nx[i++];//nut需要加上从上一次除法结束时的商再做除法。nx[k++] = nut / ot;//nx进行数据重置，新填入的数是整个原数做除法之后的商。val += nx[k - 1];nut %= ot;}len = k;/*将余数储存起来*/if (nut < 10)ans.push_back(char(nut + '0'));else if (nut >= 10 && nut <= 35)ans.push_back(char(nut - 10 + 'A'));else if (nut >= 36 && nut <= 61)ans.push_back(char(nut - 36 + 'a'));}

细节提示
注意0~9转为字符时要加上’0’。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000;
int nx[N], cx[N];
int main(){int t;cin >> t;int in, ot;string num;while(t--){cin >> in >> ot >> num;cout << in << " " << num << endl;cout << ot << " ";int i = 0, len = num.length();for (; i < len; i++){if(num[i]-'0'<10)nx[i] = num[i] - '0';else if(num[i]>='A'&&num[i]<='Z')nx[i] = num[i] - 'A' + 10;else if(num[i]>='a'&&num[i]<='z')nx[i] = num[i] - 'a' + 36;}int k, val = 1;string ans;while (val != 0){val = 0;int nut = 0;k = 0;nut = 0;for (i = 0; i < len;){nut = nut * in + nx[i++];nx[k++] = nut / ot;val += nx[k - 1];nut %= ot;}len = k;if (nut < 10)ans.push_back(char(nut + '0'));else if (nut >= 10 && nut <= 35)ans.push_back(char(nut - 10 + 'A'));else if (nut >= 36 && nut <= 61)ans.push_back(char(nut - 36 + 'a'));}reverse(ans.begin(), ans.end());cout << ans << endl<< endl;}return 0;
}

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