泛函、变分与欧拉-拉格朗日方程

2024-06-04 03:14:38

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泛函、变分与欧拉-拉格朗日方程
- 1. 泛函
- 2. 变分
- 3. 欧拉-拉格朗日方程
- 4. 两点之间直线最短的证明
- 参考资料

泛函、变分与欧拉-拉格朗日方程

1. 泛函

设CCC是一个由函数组成的集合，对于CCC中的任何一个元素y(x)y(x)y(x)，数集BBB中都有一个元素FFF与之对应，称F是y(x)y(x)y(x)的泛函（functional），记作F=F[y(x)]F=F[y(x)]F=F[y(x)]。
一般情况下，泛函式常用积分形式表示：
J[y(x)]=∫x0x1F(x,y,y′)dxJ[y(x)]=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y')dxJ[y(x)]=∫x0x1F(x,y,y′)dx
式中，被积函数F(x,y,y′)F(x,y,y')F(x,y,y′)称为核。

由此可见，泛函是从函数组成的一个向量空间到标量域的映射。

函数、泛函、算子概念区别

函数：从数域到数域的映射；
泛函：从向量空间到数域的映射；
算子：从向量空间到向量空间的映射。

2. 变分

对泛函求极值的问题称为变分问题。使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。

3. 欧拉-拉格朗日方程

对连续函数求极值，可以通过费马引理，即通过求函数导数为零点求解。类似的，变分法可以通过欧拉-拉格朗日方程求得。
Fy−ddxFy′=0F_y - \frac{d}{dx}F_{y'} = 0Fy−dxdFy′=0
欧拉-拉格朗日方程的意义在于如果泛函取得极值，该公式都成立。

4. 两点之间直线最短的证明

如上图所示，设A、BA、BA、B两点之间的连接曲线为y=y(x)y=y(x)y=y(x)，其曲线长度为SSS，那么有：
dS=1+(dydx)2dxS=∫x0x1(1+1+(dydx)2)dx令y′=dydxS=∫x0x1(1+1+y′2)dx\begin{aligned} dS & = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx \\ S &= \int_{x_0}^{x_1}\Big(1+\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\Big)dx \\ 令\ y'&=\frac{dy}{dx}\\ S &= \int_{x_0}^{x_1}(1+\sqrt{1+y'^2})dx \end{aligned} dSS令 y′S=1+(dxdy)2dx=∫x0x1(1+1+(dxdy)2)dx=dxdy=∫x0x1(1+1+y′2)dx
要求两点之间最短路径，即SSS最小，那么就是一个变分问题了。
且其核为：
F=1+1+y′2F = 1+\sqrt{1+y'^2} F=1+1+y′2

由欧拉-拉格朗日方程可得：
∵Fy=0∴ddxFy′=0Fy′=12(1+y′2)−12(2y′)=y′(1+y′2)−12ddxFy′=y′′(1+y′2)−12+y′(−12)(1+y′2)−32(2y′)y′′=y′′(1+y′2)−32=0y′′=0y′=Cy=C1x+C2\begin{aligned} \because &F_y = 0 \\ \therefore &\frac{d}{dx}F_{y'} =0 \\ F_{y'} &= \frac{1}{2} ( 1+y'^2) ^{-\frac{1}{2}}(2y') \\ &= y' ( 1+y'^2) ^{-\frac{1}{2}} \\ \frac{d}{dx}F_{y'} &= y'' ( 1+y'^2) ^{-\frac{1}{2}} + y'( -\frac{1}{2} )( 1+y'^2) ^{-\frac{3}{2}} (2y')y{''} \\ &= y{''}( 1+y'^2) ^{-\frac{3}{2}} = 0 \\ y{''} &= 0 \\ y' &= C \\ y & = C_1x + C_2 \end{aligned} ∵∴Fy′dxdFy′y′′y′yFy=0dxdFy′=0=21(1+y′2)−21(2y′)=y′(1+y′2)−21=y′′(1+y′2)−21+y′(−21)(1+y′2)−23(2y′)y′′=y′′(1+y′2)−23=0=0=C=C1x+C2
即曲线SSS为直线。借助两点坐标，C1,C2C_1,C_2C1,C2也可求了。

参考资料

知乎：变分法理解1——泛函简介

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