傅立叶级数与傅里叶变换

1. 对周期函数进行分解的猜想
2. 分解
- 2.1 常数项
- 2.2 通过sin(x),cos(x)进行分解
- 2.3 保证组合出来周期为T
- 2.4 调整振幅
- 2.5 小结
3. sin(x) 的另外一种表示方法
- 3.1 e^{i\omega t}
- 3.2 通过e^{i\omega t}表示sin(t)
4. 通过频域来求系数
- 4.1 函数是线性组合
- 4.2 如何求正交基的坐标
- 4.3 如何求 sin(nt) 基下的坐标
- 4.4 更一般的
5. 傅里叶级数
- 5.1 基坐标画到图上
- 5.2 频域图
6. 非周期函数
7. 傅里叶变换

Reference:

如何理解傅立叶级数公式？
从傅立叶级数到傅立叶变换

1. 对周期函数进行分解的猜想

拉格朗日等数学家发现某些周期函数(不一定是周期函数)可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为 2π2\pi2π 的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：
而另外一位数学家：傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

2. 分解

假设 f(x)f(x)f(x) 是周期为 TTT 的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于 f(x)f(x)f(x)？

2.1 常数项

对于 y=C,C∈Ry=C,C\in\mathbb{R}y=C,C∈R 这样的常数函数：

根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。
所以，分解里面得有一个常数项。

2.2 通过sin(x),cos(x)进行分解

首先，sin(x)sin(x)sin(x)，cos(x)cos(x)cos(x)是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。

其次，它们的微分和积分都很简单。

然后，sin(x)sin(x)sin(x) 是奇函数，即：
−sin(x)=sin(−x)-sin(x)=sin(-x) −sin(x)=sin(−x)

从图像上也可以看出，sin(x)sin(x)sin(x)关于原点对称，是奇函数：
而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：
fodd±fodd=foddf_{\text{odd}}\pm f_{\text{odd}}=f_{\text{odd}} fodd±fodd=fodd

其中，foddf_{\text{odd}}fodd 表示奇函数。

而 cos(x)cos(x)cos(x) 是偶函数，即：
cos(x)=cos(−x)cos(x)=cos(-x)cos(x)=cos(−x)

从图像上也可以看出，cos(x)cos(x)cos(x)关于YYY轴对称，是偶函数：
同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：
feven±feven=fevenf_{\text{even}}\pm f_{\text{even}}=f_{\text{even}}feven±feven=feven

其中，feven_{\text{even}}even表示偶函数。

但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：
f(x)=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2=feven+foddf(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}f(x)=2f(x)+f(−x)+2f(x)−f(−x)=feven+fodd

所以同时需要sin(x)sin(x)sin(x),cos(x)cos(x)cos(x)。

2.3 保证组合出来周期为T

之前说了，f(x)f(x)f(x)是周期为TTT的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为TTT呢？
比如下面这个函数的周期为2π2\pi2π：

很显然，sin(x)sin(x)sin(x)的周期也是2π2\pi2π：

sin(2x)sin(2x)sin(2x)的周期也是2π2\pi2π，虽然最小周期是π\piπ：
很显然，sin(nx),n∈Nsin(nx),n\in\mathbb{N}sin(nx),n∈N的周期中都有一个周期为2π2\pi2π：
更一般的，如果f(x)f(x)f(x)的周期为TTT，那么：
sin(2πnTx)cos(2πnTx),n∈Nsin({\frac{2\pi n}{T}x})\quad cos({\frac{2\pi n}{T}x}),n\in\mathbb{N}sin(T2πnx)cos(T2πnx),n∈N

这些函数的周期都为TTT。将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为TTT。

2.4 调整振幅

现在我们有一堆周期为2π2\pi2π的函数了，比如说sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)：
通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如sin(x)sin(x)sin(x)看起来处处都比目标函数低一些：
把它的振幅增加一倍：
2sin(x)2sin(x)2sin(x)有的地方超出去了，从周期为2π2\pi2π的函数中选择一个，减去一点：
调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：

2.5 小结

综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：
f(x)=C+∑n=1∞(ancos⁡(2πnTx)+bnsin⁡(2πnTx)),C∈Rf(x)=C+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \left(\frac{2 \pi n}{T} x\right)+b_{n} \sin \left(\frac{2 \pi n}{T} x\right)\right), C \in \mathbb{R} f(x)=C+n=1∑∞(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)),C∈R

这样就符合之前的分析：

有常数项
奇函数和偶函数可以组合出任意函数
周期为 TTT
调整振幅，逼近原函数

之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：CanbnC\quad a_n\quad b_nCanbn

3. sin(x) 的另外一种表示方法

直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是：eiωte^{i\omega t}eiωt？

3.1 eiωte^{i\omega t}eiωt

eiθe^{i\theta}eiθ 这种就应该想到复平面上的一个夹角为\theta的向量：
那么当θ\thetaθ不再是常数，而是代表时间的变量ttt的时候：
eiθ→eite^{i\theta}\to e^{i{\color{red}t}}eiθ→eit

随着时间ttt的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来，2π2\pi2π秒会旋转一圈，也就是T=2πT=2\piT=2π：

3.2 通过eiωte^{i\omega t}eiωt表示sin(t)sin(t)sin(t)

根据欧拉公式，有：
eit=cos(t)+isin(t)e^{it}=cos(t)+isin(t)eit=cos(t)+isin(t)

所以，在时间ttt轴上，把eite^{it}eit向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是sin(t)sin(t)sin(t)，代数上用 ImImIm 表示虚部 sin(t)=Im(eit)sin(t)=Im(e^{it})sin(t)=Im(eit)：

在时间ttt轴上，把ei2te^{i2t}ei2t向量的虚部记录下来，得到的就是sin(2t)sin(2t)sin(2t)：
如果在时间ttt轴上，把eite^{it}eit的实部（横坐标）记录下来，得到的就是cos(t)cos(t)cos(t)的曲线，代数上用 ReReRe 表示虚部 cos(t)=Re(eit)cos(t)=Re(e^{it})cos(t)=Re(eit)：

更一般的我们认为，我们具有两种看待sin(x)sin(x)sin(x),cos(x)cos(x)cos(x)的角度：
eiωt⟺{sin(ωt)cos(ωt)e^{i\omega t}\iff \begin{cases}sin(\omega t)\\cos(\omega t)\end{cases}eiωt⟺{sin(ωt)cos(ωt)

这两种角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称为频域；一个可以看到流逝的时间，所以称为时域：

4. 通过频域来求系数

4.1 函数是线性组合

假设有这么个函数：
g(x)=sin(x)+sin(2x)g(x)=sin(x)+sin(2x)g(x)=sin(x)+sin(2x)

是一个T=2πT=2\piT=2π的函数：
如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：
eit+ei2te^{it}+e^{i2t}eit+ei2t

先看看eiθ+ei2θe^{i\theta}+e^{i2\theta}eiθ+ei2θ，其中θ\thetaθ是常数，很显然这是两个向量之和：
现在让它们动起来，把θ\thetaθ变成流逝的时间ttt，那么就变成了旋转的向量和：
很显然，如果把虚部记录下来，就得到 g(t)g(t)g(t)：

我们令：
G(t)=eit+ei2tG(t)=e^{it}+e^{i2t}G(t)=eit+ei2t

这里用大写的GGG来表示复数函数。

刚才看到了，eite^{it}eit和ei2te^{i2t}ei2t都是向量，所以上式可以写作：
G(t)=eit+ei2t\boldsymbol{G(t)}=\boldsymbol{e^{it}}+\boldsymbol{e^{i2t}}G(t)=eit+ei2t

这里就是理解的重点了，从线性代数的角度：

eite^{it}eit和ei2te^{i2t}ei2t是基
G(t)是基eite^{it}eit,ei2te^{i2t}ei2t的线性组合

g(t)g(t)g(t)是G(t)G(t)G(t)的虚部，所以取虚部，很容易得到：
g(t)⃗=sin(t)⃗+sin(2t)⃗\vec{g(t)}=\vec{sin(t)}+\vec{sin(2t)}g(t)=sin(t)+sin(2t)

即 g(t)g(t)g(t) 是基 sin(t)sin(t)sin(t),sin(2t)sin(2t)sin(2t) 的线性组合。
那么 sin(t)sin(t)sin(t), sin(2t)sin(2t)sin(2t) 的系数，实际上是 g(t)g(t)g(t) 在基 sin(t)sin(t)sin(t), sin(2t)sin(2t)sin(2t) 下的坐标了。

4.2 如何求正交基的坐标

有了这个结论之后，我们如何求坐标？
我们来看个例子，假设：
w⃗=2u⃗+3v⃗\vec{w_{}}=2\vec{u_{}}+3\vec{v_{}}w=2u+3v

其中u⃗=(11),v⃗=(−11)\vec{u_{}}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\vec{v_{}}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}u=(11),v=(−11)
通过点积：
u⃗⋅v⃗=0\vec{u_{}}\cdot \vec{v_{}}=0u⋅v=0

可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：

通过点积可以算出u⃗\vec{u_{}}u的系数(对于正交基才可以这么做)：
w⃗⋅u⃗u⃗⋅u⃗=(1,5)⋅(−1,1)(−1,1)⋅(−1,1)=2\frac{\vec{w_{}}\cdot \vec{u_{}}}{\vec{u_{}}\cdot \vec{u_{}}}=\frac{(1,5)\cdot(-1,1)}{(-1,1)\cdot(-1,1)}=2u⋅uw⋅u=(−1,1)⋅(−1,1)(1,5)⋅(−1,1)=2

4.3 如何求 sin(nt) 基下的坐标

在这里抛出一个结论，函数向量的点积是这么定义的：
f(x)⃗⋅g1(x)⃗=∫0Tf(x)g1(x)dx\vec{f(x)}\cdot\vec{g_1(x)}=\int_{0}^{T}f(x)g_1(x)dxf(x)⋅g1(x)=∫0Tf(x)g1(x)dx

其中，f(x)f(x)f(x)是函数向量，g1(x)g_1(x)g1(x)是基，TTT是f(x)f(x)f(x)的周期。
那么对于：
g(x)=sin(x)+sin(2x)g(x)=sin(x)+sin(2x)g(x)=sin(x)+sin(2x)

其中，g2(x)g_2(x)g2(x)是向量，sin(t),sin(2t)sin(t),sin(2t)sin(t),sin(2t) 是 基，周期 T=2πT=2\piT=2π。
根据刚才内积的定义：
sin(t)⃗⋅sin(2t)⃗=∫02πsin(t)sin(2t)dt=0\vec{sin(t)}\cdot\vec{sin(2t)}=\int_{0}^{2\pi}sin(t)sin(2t)dt=0sin(t)⋅sin(2t)=∫02πsin(t)sin(2t)dt=0

所以 sin(t)sin(t)sin(t) 和 sin(2t)sin(2t)sin(2t) 互为正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求 ggg 的正交基系数：
g⃗⋅sin(t)⃗sin(t)⃗⋅sin(t)⃗=∫02πg(x)sin(x)dx∫02πsin2(x)dx=1\frac{\vec{g_{}}\cdot \vec{sin(t)}}{\vec{sin(t)}\cdot \vec{sin(t)}}=\frac{\int_{0}^{2\pi}g(x)sin(x)dx}{\int_{0}^{2\pi}sin^2(x)dx}=1sin(t)⋅sin(t)g⋅sin(t)=∫02πsin2(x)dx∫02πg(x)sin(x)dx=1

4.4 更一般的

对于我们之前的假设，其中 f(x)f(x)f(x) 周期为 TTT：
f(x)=C+∑n=1∞(ancos(2πnTx)+bnsin(2πnTx)),C∈R\displaystyle f(x)=C+\sum _{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+b_{n}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right),C\in\mathbb{R}f(x)=C+n=1∑∞(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)),C∈R

可以改写为这样：
f(x)=C⋅1+∑n=1∞(ancos(2πnTx)+bnsin(2πnTx)),C∈R\displaystyle f(x)=C\cdot 1+\sum _{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+b_{n}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right),C\in\mathbb{R}f(x)=C⋅1+n=1∑∞(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)),C∈R

也就是说向量 f(x)f(x)f(x) 的基为(即把f(x)f(x)f(x)当作了如下基的向量)：
{1,cos(2πnTx),sin(2πnTx)}\{1,cos({\frac{2\pi n}{T}x}),sin({\frac{2\pi n}{T}x})\}{1,cos(T2πnx),sin(T2πnx)}

是的，111 也是基。

该式可以解读为：
f(x)=a0⏟基1下的坐标⋅1+∑n=1∞(an⏟对应基的坐标cos(2πnTx)+bn⏟对应基的坐标sin(2πnTx))\displaystyle f(x)=\underbrace{a_0}_{基1下的坐标}\cdot 1+\sum _{{n=1}}^{\infty }\left(\underbrace{a_{n}}_{对应基的坐标}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+\underbrace{b_{n}}_{对应基的坐标}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right)f(x)=基1下的坐标a0⋅1+n=1∑∞⎝⎛对应基的坐标ancos(T2πnx)+对应基的坐标bnsin(T2πnx)⎠⎞

那么可以得到(通过上一节求正交基系数的方法计算每一项的系数)：
an=∫0Tf(x)cos(2πnTx)dx∫0Tcos2(2πnTx)dx=2T∫0Tf(x)cos(2πnTx)dxbn=∫0Tf(x)sin(2πnTx)dx∫0Tsin2(2πnTx)dx=2T∫0Tf(x)sin(2πnTx)dxa_n=\frac{\int_{0}^{T}f(x)cos({\frac{2\pi n}{T}x})dx}{\int_{0}^{T}cos^2({\frac{2\pi n}{T}x})dx}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)cos({\frac{2\pi n}{T}x})dx\\ b_n=\frac{\int_{0}^{T}f(x)sin({\frac{2\pi n}{T}x})dx}{\int_{0}^{T}sin^2({\frac{2\pi n}{T}x})dx}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)sin({\frac{2\pi n}{T}x})dxan=∫0Tcos2(T2πnx)dx∫0Tf(x)cos(T2πnx)dx=T2∫0Tf(x)cos(T2πnx)dxbn=∫0Tsin2(T2πnx)dx∫0Tf(x)sin(T2πnx)dx=T2∫0Tf(x)sin(T2πnx)dx

CCC 也可以通过点积来表示，最终我们得到：
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡(2πnxT)+bnsin⁡(2πnxT))\displaystyle f(x)={\frac{a_{0}}{2}}+\sum _{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}\cos({\tfrac {2\pi nx}{T}})+b_{n}\sin({\tfrac {2\pi nx}{T}})\right)f(x)=2a0+n=1∑∞(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx))

其中：
an=2T∫x0x0+Tf(x)⋅cos⁡(2πnxT)dx,n∈{0}⋃Nbn=2T∫x0x0+Tf(x)⋅sin⁡(2πnxT)dx,n∈N\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot \cos({\tfrac {2\pi nx}{T}})\ dx, n\in\{0\}\bigcup\mathbb{N}\\ b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot \sin({\tfrac {2\pi nx}{T}})\ dx, n\in\mathbb{N}an=T2∫x0x0+Tf(x)⋅cos(T2πnx) dx,n∈{0}⋃Nbn=T2∫x0x0+Tf(x)⋅sin(T2πnx) dx,n∈N

5. 傅里叶级数

5.1 基坐标画到图上

举个例子，T=2πT=2\piT=2π 的方波 f(x)f(x)f(x)，可以粗略的写做：
f(x)≈1+4πsin(x)f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi}sin(x)f(x)≈1+π4sin(x)

从几何上看，有那么一丁点相似：

我们可以认为：
f(x)≈1+4πsin(x)f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi}sin(x)f(x)≈1+π4sin(x)

此函数的基为 {1,sin(x)}\{1,sin(x)\}{1,sin(x)}。则 f(x)f(x)f(x) 相当于向量：(1,4π)\displaystyle (1,\frac{4}{\pi})(1,π4)

画到图上如下，注意坐标轴不是 x,yx,yx,y，而是 1,sin(x)1,sin(x)1,sin(x)：

5.2 频域图

再增加几个三角函数：
f(x)≈1+4πsin(x)+0sin(2x)+43πsin(3x)+0sin(4x)+45πsin(5x)f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi}sin(x)+0sin(2x)+\frac{4}{3\pi}sin(3x)+0sin(4x)+\frac{4}{5\pi}sin(5x)f(x)≈1+π4sin(x)+0sin(2x)+3π4sin(3x)+0sin(4x)+5π4sin(5x)

从几何上看，肯定更接近了：

此时基为 {1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)}\{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)\}{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)}
, 其对应的向量为：(1,4π,0,43π,0,45π)\displaystyle (1,\frac{4}{\pi},0,\frac{4}{3\pi},0,\frac{4}{5\pi})(1,π4,0,3π4,0,5π4)

六维的向量没有办法画图啊，没关系，数学家发明了一个频域图来表示这个向量：

上图中的 0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5 分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之前的基：
0Hz⟺sin(0x)3Hz⟺sin(3x)⋯0Hz\iff sin(0x)\quad 3Hz\iff sin(3x)\cdots0Hz⟺sin(0x)3Hz⟺sin(3x)⋯

而高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。
这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图。当然还有别的办法，综合正弦和余弦，这个后面再说。
原来的曲线图就称为时域图，往往把时域图和频域图画在一起，这样能较为完整的反映傅立叶级数：

不管时域、频域其实反映的都是同一个曲线，只是一个是用函数的观点，一个是用向量的观点。
当习惯了频域之后，会发现看到频域图，似乎就看到了傅立叶级数的展开：

6. 非周期函数

非周期函数，比如下面这个函数可以写出傅立叶级数吗？
这并非一个周期函数，没有办法写出傅立叶级数。
不过可以变换一下思维，如果刚才的方波的周期：
T=2π→T=∞T=2\pi\to T=\inftyT=2π→T=∞

那么就得到了这个函数：
在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数：
观察下频域，之前说了，对于周期为 TTT 的函数 f(x)f(x)f(x)，其基为：{1,cos(2πnTx),sin(2πnTx)}\{1,cos({\frac{2\pi n}{T}x}),sin({\frac{2\pi n}{T}x})\}{1,cos(T2πnx),sin(T2πnx)}
刚才举的方波 T=2πT=2\piT=2π，对应的基就为(没有余弦波)：{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x),⋯sin(nx)}\{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x),\cdots\,sin(nx)\}{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x),⋯sin(nx)}
对应的频率就是：{0Hz,1Hz,2Hz,3Hz,4Hz,5Hz,⋯nHz}\{0Hz,1Hz,2Hz,3Hz,4Hz,5Hz,\cdots\,nHz\}{0Hz,1Hz,2Hz,3Hz,4Hz,5Hz,⋯nHz}

按照刚才的思路，如果 TTT 不断变大，比如让 T=4πT=4\piT=4π，对应的基就为(没有余弦波)：{1,sin(0.5x),sin(x),sin(1.5x),sin(2x),sin(2.5x),⋯sin(0.5nx)}\{1,sin(0.5x),sin(x),sin(1.5x),sin(2x),sin(2.5x),\cdots\,sin(0.5nx)\}{1,sin(0.5x),sin(x),sin(1.5x),sin(2x),sin(2.5x),⋯sin(0.5nx)}
对应的频率就是：{0Hz,0.5Hz,1Hz,1.5Hz,2Hz,2.5Hz,⋯0.5nHz}\{0Hz,0.5Hz,1Hz,1.5Hz,2Hz,2.5Hz,\cdots\,0.5nHz\}{0Hz,0.5Hz,1Hz,1.5Hz,2Hz,2.5Hz,⋯0.5nHz}
和刚才相比，频率更加密集：
之前的方波的频域图，画了前 505050 个频率，可以看到，随着 TTT 不断变大，这 505050 个频率越来越集中：

可以想象，如果：
T=2π→T=∞T=2\pi\to T=\inftyT=2π→T=∞

这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：

傅立叶变换就是，让 T=∞T=\inftyT=∞，求出上面这根频域曲线。

7. 傅里叶变换

之前说了，傅立叶级数是：
f(x)=a0+∑n=1∞(ancos(2πnTx)+bnsin(2πnTx)),a0∈R\displaystyle f(x)=a_0+\sum _{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+b_{n}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right),a_0\in\mathbb{R}f(x)=a0+n=1∑∞(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)),a0∈R

这里有正弦波，也有余弦波，画频域图也不方便，通过欧拉公式，可以修改为复数形式：
f(x)=∑n=−∞∞cn⋅ei2πnxT\displaystyle f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}f(x)=n=−∞∑∞cn⋅eiT2πnx

其中：
cn=1T∫x0x0+Tf(x)⋅e−i2πnxTdx\displaystyle c_{n}={\frac{1}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}\ dxcn=T1∫x0x0+Tf(x)⋅e−iT2πnx dx

复数形式也是向量，可以如下解读：
f(x)=∑n=−∞∞cn⏟对应基的坐标⋅ei2πnxT⏟正交基\displaystyle f(x)=\sum _{{n=-\infty}}^{\infty}\underbrace{c_{n}}_{对应基的坐标}\cdot \underbrace{e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}}_{正交基}f(x)=n=−∞∑∞对应基的坐标cn⋅正交基eiT2πnx

不过 cnc_{n}cn 是复数，不好画频域图，所以之前讲解全部采取的是三角级数。

周期推向无穷的时候可以得到：
f(x)=∑n=−∞∞cn⋅ei2πnxTT=∞}⟹f(x)=∫−∞∞F(ω)eiωxdω\left. \begin{align*} \displaystyle f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}\\ T=\infty \end{align*} \right\}\implies f(x) = \int_{-\infty}^\infty F(\omega)\ e^{i\omega x}\,d\omegaf(x)=n=−∞∑∞cn⋅eiT2πnxT=∞⎭⎬⎫⟹f(x)=∫−∞∞F(ω) eiωxdω

上面简化了一下，用 ω\omegaω 代表频率(2πnT\frac{2\pi n}{T}T2πn 在这里没有意义，因为是连续的)。

F(ω)F(\omega)F(ω) 大致是这么得到的：
cn=1T∫x0x0+Tf(x)⋅e−i2πnxTdxT=∞}⟹F(ω)=12π∫−∞∞f(x)e−iωxdx\left. \begin{align*} c_{n}={\frac{1}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}\ dx\\ T=\infty \end{align*} \right\}\implies F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-i\omega x}\,dxcn=T1∫x0x0+Tf(x)⋅e−iT2πnx dxT=∞⎭⎬⎫⟹F(ω)=2π1∫−∞∞f(x) e−iωxdx

F(ω)F(\omega)F(ω) 就是傅立叶变换，得到的就是频域曲线。
下面两者称为傅立叶变换对，可以相互转换：
f(x)⟺F(ω)f(x)\iff F(\omega)f(x)⟺F(ω)

正如之前说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。

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离散傅里叶变换（DFT）（为了使用而学习的DFT）
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从头到尾彻底理解傅里叶变换算法（上）
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傅立叶级数与傅里叶变换

傅立叶级数与傅里叶变换

1. 对周期函数进行分解的猜想

2. 分解

2.1 常数项

2.2 通过sin(x),cos(x)进行分解

2.3 保证组合出来周期为T

2.4 调整振幅

2.5 小结

3. sin(x) 的另外一种表示方法

3.1 eiωte^{i\omega t}eiωt

3.2 通过eiωte^{i\omega t}eiωt表示sin(t)sin(t)sin(t)

4. 通过频域来求系数

4.1 函数是线性组合

4.2 如何求正交基的坐标

4.3 如何求 sin(nt) 基下的坐标

4.4 更一般的

5. 傅里叶级数

5.1 基坐标画到图上

5.2 频域图

6. 非周期函数

7. 傅里叶变换

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