【BZOJ2813】奇妙的Fibonacci（结论，线性筛）

结论：fj∣fif_j|f_ifj∣fi 等价于 j∣ij|ij∣i。

证明：（来自DTZ巨佬）

于是询问就变成了求一个数的因数个数和因数的平方和。

设 x=p1k1p2k2⋯pmkmx=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}x=p1k1p2k2⋯pmkm。

那么 xxx 的因数个数为 ∏i=1m(ki+1)\prod\limits_{i=1}^m(k_i+1)i=1∏m(ki+1)，因数平方和为 ∏i=1m∑j=0kipi2j\prod\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=0}^{k_i}p_i^{2j}i=1∏mj=0∑kipi2j。

用线性筛求解，有一个小 trick 是记录一个数 xxx 除尽其最小质因子后的数 nop(x)nop(x)nop(x)，具体实现过程详见代码。

#include<bits/stdc++.h>#define N 10000010using namespace std;namespace modular
{const int mod=1000000007;inline int add(const int x,const int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}inline int dec(const int x,const int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}inline int mul(const int x,const int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');ch=getchar();}return x*f;
}int q,a,b,c;
int cnt,prime[N];
int nop[N],s1[N],s2[N];
bool notprime[N];void init()
{s1[1]=1,s2[1]=1;for(int i=2;i<=c;i++){if(!notprime[i]){prime[++cnt]=i;nop[i]=1;s1[i]=2;s2[i]=add(mul(i,i),1);}for(int j=1,x;j<=cnt&&(x=(i*prime[j]))<=c;j++){notprime[x]=1;if(!(i%prime[j])){nop[x]=nop[i];s1[x]=mul(s1[nop[i]],add(s1[i/nop[i]],1));s2[x]=mul(s2[nop[i]],add(mul(s2[i/nop[i]],mul(prime[j],prime[j])),1));break;}nop[x]=i;s1[x]=mul(s1[i],s1[prime[j]]);s2[x]=mul(s2[i],s2[prime[j]]);}}
}int main()
{q=read();int x=read();a=read(),b=read(),c=read();init();int ans1=0,ans2=0;while(q--){ans1=add(ans1,add(s1[x],(x&1)));ans2=add(ans2,add(s2[x],(x&1)*4));x=(1ll*x*a+b)%c+1;}printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);return 0;
}
/*
2
2 2 1 8
*/

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