本文说明以下重要结论
nnn 元 mmm 维非齐次线性方程组 Am×nxn×1=bm×1\pmb{A}_{m\times n}\pmb{x}_{n\times 1}=\pmb{b}_{m\times 1}AAAm×nxxxn×1=bbbm×1 的通解为 kξ+ηk\pmb{\xi} + \pmb{\eta}kξξξ+ηηη，其中
1. kξ=k1ξ1+k2ξ2+...+kn−rξn−r\pmb{k\xi} = k_1\pmb{\xi}_1+k_2\pmb{\xi}_2+...+k_{n-r}\pmb{\xi}_{n-r}kξkξkξ=k1ξξξ1+k2ξξξ2+...+kn−rξξξn−r 是齐次线性方程组 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的通解
2. η\pmb{\eta}ηηη 是非齐次线性方程组 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的一个特解
参考：非齐次线性方程组通解的结构如何理解？ - 破魔之箭的回答 - 知乎

1. 有解的条件

当系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等时，即 r(A)=r(A∣b)r(\pmb{A}) = r(\pmb{A}|\pmb{b})r(AAA)=r(AAA∣bbb) 时，非齐次线性方程组 Am×nxn×1=bm×1\pmb{A}_{m\times n}\pmb{x}_{n\times 1}=\pmb{b}_{m\times 1}AAAm×nxxxn×1=bbbm×1 有解，具体而言
1. r(A)=r(A∣b)=nr(\pmb{A}) = r(\pmb{A}|\pmb{b}) =nr(AAA)=r(AAA∣bbb)=n 时，有唯一解
2. r(A)=r(A∣b)<nr(\pmb{A}) = r(\pmb{A}|\pmb{b}) <nr(AAA)=r(AAA∣bbb)<n 时，有无穷多解
这意味着，为了保证有解，方程组中有效方程个数 rrr 必须少于等于未知数个数 nnn。
注意到，可以通过以下两步变换得到同解方程组
1. 通过初等行变换把增广矩阵 [A∣b][\pmb{A}|\pmb{b}][AAA∣bbb] 化阶梯型得到同解方程组 Bm×nxn×1=bm×1′\pmb{B}_{m\times n}\pmb{x}_{n\times 1}=\pmb{b}'_{m\times 1}BBBm×nxxxn×1=bbbm×1′
2. 再取出其中非零的前 rrr 行（保留有效方程组），得到同解方程组 Br×nxn×1=br×1′\pmb{B}_{r\times n}\pmb{x}_{n\times 1}=\pmb{b}'_{r\times 1}BBBr×nxxxn×1=bbbr×1′
注意 r≤mr\leq mr≤m，当方程组有解时 r≤nr\leq nr≤n 也成立

2. 从代数角度考虑

当 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 有解时，假设一个特解是 x0′\pmb{x}_0'xxx0′
1. 对于 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的任意特解 x0\pmb{x}_0xxx0，有和它唯一对应的 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的特解 x0+x0′\pmb{x_0}+\pmb{x_0}'x0x0x0+x0x0x0′，因为
  A(x0+x0′)=Ax0+Ax0′=0+b=b\pmb{A}(\pmb{x_0}+\pmb{x_0}') = \pmb{Ax}_0 + \pmb{Ax}_0' = \pmb{0}+\pmb{b} = \pmb{b} AAA(x0x0x0+x0x0x0′)=AxAxAx0+AxAxAx0′=000+bbb=bbb
2. 对于 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的任意特解 x0′′\pmb{x}_0''xxx0′′，有和它唯一对应的 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的特解 x0′′−x0′\pmb{x_0}''-\pmb{x_0}'x0x0x0′′−x0x0x0′，因为
  A(x0′′−x0′)=Ax0′′−Ax0′=b−b=0\pmb{A}(\pmb{x_0}''-\pmb{x_0}') = \pmb{Ax}_0'' - \pmb{Ax}_0' = \pmb{b} - \pmb{b} = \pmb{0} AAA(x0x0x0′′−x0x0x0′)=AxAxAx0′′−AxAxAx0′=bbb−bbb=000
这意味着
1. Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 和 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 解空间中的解向量是一一对应的，二者解空间大小一致
2. Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的任意解向量，只要沿着 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的任意特解 x0′\pmb{x}_0'xxx0′ 的方向平移，就能得到 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 解空间中的对应解向量（反之也成立）
所以，Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的解空间（通解 kξk\pmb{\xi}kξξξ）只要沿着 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的任意特解（η\pmb{\eta}ηηη）方向平移，即得到 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的解空间（通解 kξ+ηk\pmb{\xi} +\pmb{\eta}kξξξ+ηηη）

3. 从几何角度考虑

从几何角度看，矩阵代表对向量的一种空间变换。Am×nxn×1=bm×1\pmb{A}_{m\times n}\pmb{x}_{n\times 1}=\pmb{b}_{m\times 1}AAAm×nxxxn×1=bbbm×1，它的同解方程组是 Br×nxn×1=br×1′\pmb{B}_{r\times n}\pmb{x}_{n\times 1}=\pmb{b}'_{r\times 1}BBBr×nxxxn×1=bbbr×1′（见第1节），本质是将 nnn 维空间变换为 r≤nr\leq nr≤n 维空间，空间中的向量随着空间变换而变换（随着基向量变换而变换）
1. Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的解向量都变换为 0\pmb{0}000 向量，也就是解空间被压缩到原点
2. Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的解向量都变换为向量 b\pmb{b}bbb，也就是解空间被压缩到 b\pmb{b}bbb 点处
因此 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的解空间（通解 kξk\pmb{\xi}kξξξ）沿着 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的任意特解（η\pmb{\eta}ηηη）方向平移，就能被 A\pmb{A}AAA 空间变换后压缩到 b\pmb{b}bbb 点处，即得 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的解空间（通解 kξ+ηk\pmb{\xi} +\pmb{\eta}kξξξ+ηηη）
从解空间性质看
1. Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的解空间是 nnn 维空间中一个过原点的 n−rn-rn−r 维子空间，并且此子空间是 A\pmb{A}AAA 的行空间的正交补空间（A\pmb{A}AAA 的每个行向量都和解空间正交）
2. Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的解空间是 nnn 维空间中过其所有特解的 n−rn-rn−r 维子空间，和 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的解空间平行
对于 m=3,r=1m=3,r=1m=3,r=1 的某个特殊情况，可以图示为

图中显示了 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的特解 x0\pmb{x}_0xxx0 沿着 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的特解 x0′\pmb{x}_0'xxx0′ 平移成 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 对应特解 x0+x0′\pmb{x}_0+\pmb{x}_0'xxx0+xxx0′ 的情形。图中还显示了 Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的另一个特解 x1\pmb{x}_1xxx1，将 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的通解 kξk\pmb{\xi}kξξξ 沿着 x1\pmb{x}_1xxx1 平移同样能得到相同的解空间，只是两个解空间中一一对应的方式不同
最后举一个具体的例子，设 A=[100010],b=[12]\pmb{A} = \begin{bmatrix}1 &0 &0\\0 &1 &0\end{bmatrix},\pmb{b} = \begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}AAA=[100100],bbb=[12]
1. A\pmb{A}AAA 的行空间可以看作 x 轴和 y 轴，因此 Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的解空间作为过原点且和 xoy 平面正交的 n−r=3−2=1n-r = 3-2 = 1n−r=3−2=1 维空间，只能是 z 轴。形式化地将，Ax=0\pmb{Ax}=\pmb{0}AxAxAx=000 的通解为 kξk\pmb{\xi}kξξξ，其中 ξ=[0,0,1]⊤\pmb{\xi} =[0,0,1]^\topξξξ=[0,0,1]⊤，
2. Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的两个特解分别为 [1,2,0]⊤[1,2,0]^\top[1,2,0]⊤ 和 [1,2,1]⊤[1,2,1]^\top[1,2,1]⊤，Ax=b\pmb{Ax}=\pmb{b}AxAxAx=bbb 的通解就是 z 轴沿 [1,2,0]⊤[1,2,0]^\top[1,2,0]⊤ 或 [1,2,1]⊤[1,2,1]^\top[1,2,1]⊤平移所得，可见二者是重合的。

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