文章目录

0. 写在前面
1. 一些关于级数的基本概念：
- 1.1 什么是无穷级数
- 1.2 级数和积分的联系
- - 个人理解
  - 级数和积分的对比
- 1.3 级数的收敛
- 1.4 级数举例
- - a. 几何级数（Geometric Series）
  - b. 调和级数（Harmonic Series）
  - c. p级数
  - d. 幂级数（Power Series）及其收敛半径（Radius of Convergence）
2. 特殊的幂级数——泰勒展开
- 2.1函数的幂级数表达
- 2.2 泰勒公式
- - 泰勒级数
  - 特殊情况——麦克劳林公式
- 2.3 简单证明
- 2.4 指数函数，正余弦函数的泰勒公式
3. 欧拉公式的证明
参考

0. 写在前面

今天总算完整听完了MIT 18.01单变量微积分的课程，课程最后一部分主要讨论了处理无穷的方法。我对于级数这一部分印象极为深刻，突然明白欧拉公式是怎么证明的了，所以想写一篇博客整理一下思绪，但一切都得从概念上讲起。

1. 一些关于级数的基本概念：

1.1 什么是无穷级数

无穷级数是指无穷多个以既定方式排列的数字的总和。用数学语言来表示的话，设数列为a1,a2,a3,...,an,...,a_1,a_2,a_3,...,a_n, ...,a1,a2,a3,...,an,...,，其部分和定义为：Sn=∑1nan=a1+a2+a3+...+anS_n=\sum_{1}^{n}a_n=a_1+a_2+a_3+... +a_nSn=1∑nan=a1+a2+a3+...+an
无穷级数则表示为：
∑n=1∞an=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑n=1nan\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to \infty}S_n=\lim_{n\to \infty}\sum_{n=1}^{n}a_nn=1∑∞an=n→∞limSn=n→∞limn=1∑nan

1.2 级数和积分的联系

个人理解

通过之前对积分的学习，再结合本科这四年学习中的经验，我个人认为级数是从离散的角度（或者说是更加实际的角度）去理解一个连续函数，这种方法也非常适合设计一些计算机程序去估计函数值，导数等等（计算机最喜欢处理重复性的问题）。而对于积分而言，它更像是一种理想化的，更适合人类本身运算的方法，但是遇到了更困难的超越函数之类，在不能通过巧妙的换元法等技巧求解的时候，积分这种方法就不如离散的级数方法有效了。以上只是比较泛泛的对于积分和级数的理解，以下的内容比较具体。

个人认为级数可以说是黎曼和（Riemann Sum）的一种特殊表达形式。对于定积分而言，例如上黎曼和（选择函数左侧数值作为矩形的高度，下黎曼和则选择右侧数值）的一般形式会将区间 x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b] 分成 NNN份，间隔Δn=(b−a)/N\Delta n=(b-a)/NΔn=(b−a)/N得到：
S=∑k=1N−1f(a+(k−1)Δn)⋅(a+(k−1)Δn)S=\sum_{k=1}^{N-1}f(a+(k-1)\Delta n)\cdot(a+(k-1)\Delta n)S=k=1∑N−1f(a+(k−1)Δn)⋅(a+(k−1)Δn)
而级数则是在区间 x∈[x0,∞]x\in[x_0,\infty]x∈[x0,∞] 上中间间隔为1的黎曼和（通过上下黎曼和也可以估计级数部分和的大小）：
Sinf=∑1∞f(x)⋅1S_{inf}=\sum_{1}^{\infty}f(x)\cdot1Sinf=1∑∞f(x)⋅1

级数和积分的对比

在MIT 18.01中，Jerison教授对比了级数和积分，并给出了一个定理：
（参考讲义session 95b）
如果 f(x)f(x)f(x) 是递减函数且在区间 [1,∞][1,\infty][1,∞] 上 f(x)>0f(x)>0f(x)>0，那么级数∑1∞f(x)\sum_1^\infty f(x)∑1∞f(x) 和积分 ∫1∞f(x)dx\int_1^\infty f(x)dx∫1∞f(x)dx 同时收敛或发散，并且满足：
∑1∞f(x)−∫1∞f(x)dx<f(1)\sum_1^\infty f(x)-\int_1^\infty f(x)dx<f(1)1∑∞f(x)−∫1∞f(x)dx<f(1)
注意！求解无穷级数要比求解无穷积分（瑕积分Improper Integral）要困难得多。

1.3 级数的收敛

级数的收敛性是指 lim⁡x→∞Sn=C\lim_{x\to\infty}S_n=Climx→∞Sn=C（常数），这里 SnS_nSn 是数列的n项和；反之，级数发散（diverge）。涉及到幂级数时还需定义收敛半径（见 2.1）

1.4 级数举例

a. 几何级数（Geometric Series）

几何级数的表达式：
∑0∞an=1+a+a2+a3+...=11−a(∣a∣<1)\sum_0^\infty a^n=1+a+a^2+a^3+...=\frac{1}{1-a}\\ (|a|<1)0∑∞an=1+a+a2+a3+...=1−a1(∣a∣<1)
需注意，当∣a∣≥1|a|\geq1∣a∣≥1时，几何级数不收敛。

b. 调和级数（Harmonic Series）

调和级数是p级数的一种特殊情况，其表达式为：
∑n=1∞1n=1+12+13+...+1n+...\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...n=1∑∞n1=1+21+31+...+n1+...

调和级数是发散的

c. p级数

p级数的表达式为:
∑n=1∞1np=1+1n2+1n3+...1np+...\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+...\frac{1}{n^p}+...n=1∑∞np1=1+n21+n31+...np1+...
当∣p∣≥1|p|\geq1∣p∣≥1时，级数收敛（p=1p=1p=1时为调和级数）；当∣p∣<1|p|<1∣p∣<1时，级数发散。

d. 幂级数（Power Series）及其收敛半径（Radius of Convergence）

幂级数的表达式为：
∑0∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...\sum_0^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_nx^n+...0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...
收敛半径：
存在一个数 R(0≤R≤∞)R(0\leq R\leq\infty)R(0≤R≤∞) 使得 ∣x∣<R|x|<R∣x∣<R 时，级数 ∑0∞anxn\sum_0^\infty a_nx^n∑0∞anxn收敛； ∣x∣>R|x|>R∣x∣>R 时，级数 ∑0∞anxn\sum_0^\infty a_nx^n∑0∞anxn发散，这个数RRR 就被称为收敛半径。

2. 特殊的幂级数——泰勒展开

2.1函数的幂级数表达

我们已经知道幂级数的表达式为∑0∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...\sum_0^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_nx^n+...0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...
写成函数形式就是：（可以说多项式是幂级数的有限项展开）
f(x)=∑0∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...f(x)=\sum_0^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_nx^n+...f(x)=0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...
并且在收敛域内（∣x∣<R|x|<R∣x∣<R），f(x)f(x)f(x)的所有高阶导数都存在。

2.2 泰勒公式

基本上所有函数都能以幂级数的形式展开，只是参数ana_nan不同。而泰勒公式的目的就是为了求解这些参数的值。

泰勒级数

泰勒级数的一般形式为：
f(x)=∑0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum_0^\infty \frac{f^{( n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nf(x)=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n
具体的展开我就不写了，因为泰勒展开的特殊情况才是重点。

特殊情况——麦克劳林公式

当泰勒公式中的 x0=0x_0=0x0=0 时，我们就得到了非常重要的麦克劳林公式。
f(x)=∑0∞f(n)(0)n!xn=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+...f(x)=\sum_0^\infty \frac{f^{( n)}(0)}{n!}x^n=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...f(x)=0∑∞n!f(n)(0)xn=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+3!f′′′(0)x3+...

2.3 简单证明

我在这里简单证明以下麦克劳林公式。
函数 f(x)f(x)f(x) 能够表示成：
f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+ a_nx^n+...f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...函数 f(x)f(x)f(x) 的一阶导数为：f′(x)=a1+2a2x+...+nanxn−1+...f'(x)=a_1+2a_2x+...+ na_nx^{n-1}+...f′(x)=a1+2a2x+...+nanxn−1+...函数 f(x)f(x)f(x) 的二阶导数为：f′′(x)=2a2+6a3x+...+n(n−1)anxn−2+...f''(x)=2a_2+6a_3x+...+ n(n-1)a_nx^{n-2}+...f′′(x)=2a2+6a3x+...+n(n−1)anxn−2+...⋯\cdots⋯⋯\cdots⋯
这时我们只需要求在点 x=0x=0x=0处的 nnn阶导数的值就得到了相关系数 ana_nan：
a0=f(0),a1=f′(0)a_0=f(0),a_1=f'(0)a0=f(0),a1=f′(0)a2=f′′(0)2!a_2=\frac{f''(0)}{2!}a2=2!f′′(0)a3=f(3)(0)3!a_3=\frac{f^{(3)}(0)}{3!}a3=3!f(3)(0)⋯\cdots⋯an=f(n)(0)n!a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}an=n!f(n)(0)

2.4 指数函数，正余弦函数的泰勒公式

常用的麦克劳林公式有：
（1）指数函数 exe^xex
ex=1+x+x22!+x33!+…e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldotsex=1+x+2!x2+3!x3+…
（2）正弦函数 sin⁡x\sin xsinx
sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+…\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldotssinx=x−3!x3+5!x5−7!x7+…
（3）余弦函数 cos⁡x\cos xcosx
cos⁡x=sin⁡′x=1−x22!+x44!−x66!+…\cos x=\sin'x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldotscosx=sin′x=1−2!x2+4!x4−6!x6+…
（注意，正余弦函数的高阶导数都是四个一循环）

3. 欧拉公式的证明

在大二大三学信号与系统，数字信号处理，分析交流电路的时候，欧拉公式都非常非常非常重要！！！！但是当时根本不知道为什么会有欧拉公式，只知道它包含了实部和虚部，还有它是最优美的公式，也没有查过如何证明。
今天在复习了泰勒公式之后，我才发现在有了泰勒公式的前提下，欧拉公式的证明是多么地直接。

由常用的三个泰勒展开式，我们可以得到：
eix=1+ix−x22!−x33!+x44!+x55!−…e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}-\ldotseix=1+ix−2!x2−3!x3+4!x4+5!x5−…=(1−x22!+x44!−x66!+…)+i(x−x33!+x55!−x77!+…)=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots)=(1−2!x2+4!x4−6!x6+…)+i(x−3!x3+5!x5−7!x7+…)
（需要注意 ini^nin 也是有周期性质的，周期为4，i0=1;i1=i;i2=−1;i3=−i;i4=1…i^0=1;i^1=i; i^2=-1;i^3=-i; i^4=1\ldotsi0=1;i1=i;i2=−1;i3=−i;i4=1…本质上来讲 iii就是旋转 90°90\degree90°到 yyy 轴）

又因为我们知道：sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+…\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldotssinx=x−3!x3+5!x5−7!x7+…cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+…\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldotscosx=1−2!x2+4!x4−6!x6+…
在函数 sin⁡x\sin xsinx前加入虚数 iii 之后证明过程就变得非常直接了:
eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x+i\sin xeix=cosx+isinx
这就是著名的欧拉公式了！（之后复习到信号与系统我再详细介绍它的应用吧！）

参考

高等数学（下）无穷级数：https://blog.csdn.net/linxilinxilinxi/article/details/80920953
MIT 18.01单变量微积分讲义: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/unit-5-exploring-the-infinite/part-b-taylor-series/
Infinite series：https://www.britannica.com/science/infinite-series

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