牛顿迭代法求解多项式方程的近似解

牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method)，是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求方程的方法。该方法的基础是利用泰勒展开式。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前几项寻找方程f(x) = 0 的根。最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，该方法可以用来求方程的重根、复根。

计算公式如下：

设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)），做曲线y=f(x)的切线L,L与x轴的交点的横坐标x1=x0-f(x0)/f'(x0),

称x1是r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，求该切线与x轴的交点的横坐标为x2=x1-f(x1)/f'(x1),称x2为r的二次近似值。重复以上过程，知道r的近似值误足够小。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x）在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0）≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)）。

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

C语言代码实现：

#include<stdio.h>
#include<math.h>double func(double x) //要求解的函数方程{return x*x*x*x - 3 * x*x*x + 1.5*x*x - 4.0;}double func1(double x) //导函数{return 4 * x*x*x - 9 * x*x + 3 * x;}int Newton(double *x, double precision, int maxcyc)//maxcyc 最大迭代次数{double x1, x0;int k;x0 = *x;for (k = 0; k < maxcyc; k++){if (func1(x0) == 0.0){printf("迭代过程中导数为0\n");return 0;}x1 = x0 - func(x0) / func1(x0);if (fabs(x1 - x0) < precision || fabs(func(x1)) < precision)//达到设定的精度{*x = x1;return 1;}elsex0 = x1; //准备下次迭代}printf("迭代次数超过预期!\n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度return 0;}int main(){double x, precision;int maxcyc;printf("输入初始迭代值x0");scanf("%lf", &x);printf("输入最大迭代次数：");scanf("%d", &maxcyc);printf("请输入迭代要求的精度：");scanf("%lf", &precision);if (Newton(&x, precision, maxcyc) == 1)printf("该值附近的根为：%lf\n", x);elseprintf("迭代失败！\n");while(1);return 0;}

C++实现：

//此函数是用来求3元一次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解//比如 x^3-27=0，我们就可以输入1 0 0 -27，这样我们就可以得到一个解#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int main(){double diedai(double a,double b,double c,double d,double x);double a,b,c,d;double x=10000.0;cout<<"请依次输入方程四个系数：";cin>>a>>b>>c>>d;x=diedai(a,b,c,d,x);cout<<x<<endl;return 0;}double diedai(double a,double b,double c,double d,double x){while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001）{x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/（3*a*x*x+2*b*x+c);}return x;}

Matlab实现：

%定义函数
function y=f(x)
y=f(x) ;%函数f(x)的表达式
function z=f(x)
z=h(x) ;%函数f(x)的导函数表达式%主程序
x=X;%迭代初始值
i=0;
while i<I%迭代次数
x0 = X - f(X)/h(X);%牛顿迭代格式
if abs(x0-X)>;esp;%收敛判断
X=x0;
else break;
end
i =i+1;
end
fprintf('\n%s%.4f\t%s%d','X=',X,'i=',i);%输出结果

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