negative log likelihood

文章目录

negative log likelihood
- 似然函数(likelihood function)
- - Overview
  - Definition
  - - 离散型概率分布(Discrete probability distributions)
    - 连续型概率分布(Continuous probability distributions)
- 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)
- 对数似然(log likelihood)
- 负对数似然(negative log-likelihood)
- - Reference

似然函数(likelihood function)

Overview

在机器学习中，似然函数是一种关于模型中参数的函数。“似然性(likelihood)”和"概率(probability)"词意相似，但在统计学中它们有着完全不同的含义：概率用于在已知参数的情况下，预测接下来的观测结果；似然性用于根据一些观测结果，估计给定模型的参数可能值。

Probability is used to describe the plausibility of some data, given a value for the parameter. Likelihood is used to describe the plausibility of a value for the parameter, given some data.

—from wikipedia[3]^[3][3]

其数学形式表示为：

假设XXX是观测结果序列，它的概率分布fxf_{x}fx依赖于参数θ\thetaθ，则似然函数表示为

L(θ∣x)=fθ(x)=Pθ(X=x)L(\theta|x)=f_{\theta}(x)=P_{\theta}(X=x)L(θ∣x)=fθ(x)=Pθ(X=x)

Definition

似然函数针对**离散型概率分布(Discrete probability distributions)和连续型概率分布(Continuous probability distributions)**的定义通常不同.

离散型概率分布(Discrete probability distributions)

假设XXX是离散随机变量,其概率质量函数ppp依赖于参数θ\thetaθ,则有

L(θ∣x)=pθ(x)=Pθ(X=x)L(\theta|x)=p_{\theta}(x)=P_{\theta}(X=x)L(θ∣x)=pθ(x)=Pθ(X=x)

L(θ∣x)L(\theta|x)L(θ∣x)为参数θ\thetaθ的似然函数,xxx为随机变量XXX的输出.

Sometimes the probability of "the value of for the parameter value " is written as P(X = x | θ) or P(X = x; θ).

连续型概率分布(Continuous probability distributions)

假设XXX是连续概率分布的随机变量,其密度函数(density function)fff依赖于参数θ\thetaθ,则有

L(θ∣x)=fθ(x)L(\theta|x)=f_{\theta}(x)L(θ∣x)=fθ(x)

最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)

假设每个观测结果xxx是独立同分布的，通过似然函数L(θ∣x)L(\theta|x)L(θ∣x)求使观测结果XXX发生的概率最大的参数θ\thetaθ，即argmaxθf(X;θ)argmax_{\theta}f(X;\theta)argmaxθf(X;θ) 。

在“模型已定，参数未知”的情况下，使用最大似然估计算法学习参数是比较普遍的。

对数似然(log likelihood)

由于对数函数具有单调递增的特点，对数函数和似然函数具有同一个最大值点。取对数是为了方便计算极大似然估计，MLE中直接求导比价困难，通常先取对数再求导，找到极值点。

负对数似然(negative log-likelihood)

实践中,softmax函数通常和负对数似然(negative log-likelihood,NLL)一起使用,这个损失函数非常有趣,如果我们将其与softmax的行为相关联起来一起理解.首先,让我们写下我们的损失函数:

L(y)=−log(y)L(y)=-log(y)L(y)=−log(y)

回想一下,当我们训练一个模型时,我们渴望能够找到使得损失函数最小的一组参数(在一个神经网络中,参数指权重weights和偏移biases).

对数函数如下图红线所示：

由于是对概率分布求对数，概率ppp的值为0≤p≤10\leq{p}\leq10≤p≤1,取对数后为红色线条在[0,1][0,1][0,1]区间中的部分，再对其取负数，得到负对数似然函数如下图所示：

我们希望得到的概率越大越好，因此概率越接近于1，则函数整体值越接近于0，即使得损失函数取到最小值。

最大似然估计的一般步骤如下:
(1) 写出似然函数;
(2) 对似然函数取对数,得到对数似然函数;
(3) 求对数似然函数的关于参数组的偏导数,并令其为0,得到似然方程组;
(4) 解似然方程组,得到参数组的值.

Reference

[1]王海良,李卓恒,林旭鸣.智能问答与深度学习[M].北京:电子工业出版社,2019:19-20.

[2]Lj Miranda.Understanding softmax and the negative log-likelihood.2017.

[link]https://ljvmiranda921.github.io/notebook/2017/08/13/softmax-and-the-negative-log-likelihood/

[3]wikipedia-likelihood function

[link]https://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function#Log-likelihood

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