【编程题】中国象棋路灯

1.中国象棋

题目描述：在一个N行M列的棋盘上，让你放若干个炮（可以是0个），使得没有一个炮可以攻击到另一个炮，请问有多少种放置方法。在中国象棋中炮的行走方式是：一个炮攻击到另一个炮，当且仅当它们在同一行或同一列中，且它们之间恰好有一个棋子。

输入：

一行包含两个整数N，M，之间由一个空格隔开。

输出：

总共的方案数，由于该值可能很大，只需给出方案数mod 9999973的结果。

样例输入：

1 3

样例输出：

说明/提示

样例说明

除了3个格子里都塞满了炮以外，其它方案都是可行的，所以一共有2*2*2-1=7种方案。

数据范围

100%的数据中N和M均不超过100

50%的数据中N和M至少有一个数不超过8

30%的数据中N和M均不超过6

分析过程：

首先考虑合法的状态，即每一行每一列的炮的数量≤2，所以考虑用一个数组存储有几列放了一个炮，有几列放了两个炮。因此定义状态数组 $f[i][j][k]$ 代表在前i行，有j列放了1个棋子，有k列放了2个棋子的合法方案数。这个时候知道了全部的列数，以及知道部分情况的列数，因此可以求出不放棋子的列数，即空的=全部-合法的，也就是空的列数=m-j-k。因此我们可以确定：

可以在当前第i行不放棋子
可以在当前第i行放1个棋子
可以在当前第i行放2个棋子

然后分析上述三种情况：

不放棋子，则直接继承上面的状态，也就是 $f[i][j][k]=f[i-1][j][k]$
放1个棋子：显然我们不会选择将棋子放在已经有两个棋子的列上。因此存在两种情况：
- 1. 将棋子放在原来只有1个棋子的列上： $f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]\times (j+1)$
- 2. 将棋子放在原来没有棋子的列上： $f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]\times (m-(j-1)-k)$

这里需要解释这两种情况：

1. 放在原来只有1个棋子的列：我们在某一个有一个棋子的列放置棋子，会使这一列变成有两个棋子，即要得到 $f[i][j][k]$ 需要在j+1个有一个棋子的列上放置棋子，然后变成j个有一个棋子的列，同时又会得到一个新的有两个棋子的列，因此在此之前必须有k-1个放置2个棋子的列。所以 $f[i-1][j+1][k-1]$ 的状态传递给 $f[i][j][k]$ 存在(j+1)种情况，即可以在（j+1）列中的任意一列放置1个棋子。

2. 放在原来没有棋子的列：我们在一个没有棋子的列放置棋子，会得到一个新的有1个棋子的列。即要从j-1得到j，而这个过程中放置有2个棋子得列的数量是不会变的，所以从k传递即可，即 $f[i-1][j-1][k]$ 的状态可以传递给 $f[i][j][k]$ 。因为存在有 $(m-(j-1)-k)$ 个空列，所以要乘以 $(m-(j-1)-k)$ 。

放2个棋子：这个时候存在3种放法：
- 1. 将其中1个棋子放在原来只有1个棋子的列，另一个棋子放在原来没有棋子的列： $f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]\times j\times (m-j-(k-1))$
- 2. 都放在原来没有棋子的列： $f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]\times C_{m-(j-2)-k}^{2}$
- 3. 都放在原来只有1个棋子的列： $f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]\times C_{j+2}^{2}$

这里需要解释这三种情况：

1. 将其中1个棋子放在原来存在1个棋子的列，另一个放在原来不存在棋子的列。这个时候，我们放置之后，状态就变成了：一个没有棋子的列会变成一个存有1个棋子的列，另一个原本存有1个棋子的列变成了存有2个棋子的列。此时我们发现存在1个棋子的列的数量不会变，即第二维依然是j，又因为我们新增了一个存有2个棋子的列，所以需要从k-1转移过来，同时又因为我们可以在原来存有1个棋子的列中任意选择，而且空的列也可以任意放，所以需要 $\times j\times (m-j-(k-1))$

2. 都放在原来没有棋子的列。放置之后，会新增两个存有1个棋子的列，因此需要从j-2转移过来，而原来存有2个棋子的列的数量不变，仍然是k个。同时，因为在空的列中可以任意放置，根据排列组合公式，有 $C_{m-(j-2)-k}^{2}$ 种情况。

3. 都放在原来存有1个棋子的列。放置之后，这两个原本存有1个棋子的列就变成了两个存有2个棋子的列。即从j+2变成了j，从k-2变成了k。而且这两个棋子可以在任意原本存有1个棋子的列中任意选择，根据排列组合公式，有 $C_{j+2}^{2}$ 种情况。

最后需要注意的就是在遍历过程中的边界判断。

算法实现：

import java.util.Scanner;public class Chess {public static int f[][][] = new int[101][101][101];public static int MOD = 9999973;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int N = sc.nextInt(); // 行数int M = sc.nextInt(); // 列数int res = getResult(N, M);System.out.println(res);}private static int getResult(int n, int m) {f[0][0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {for (int k = 0; j + k <= m; k++) {f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];if (k >= 1) {f[i][j][k] += f[i - 1][j + 1][k - 1] * (j + 1);}if (j >= 1) {f[i][j][k] += f[i - 1][j - 1][k] * (m - j - k + 1);}if (k >= 2) {f[i][j][k] += f[i - 1][j + 2][k - 2] * MathC(j + 2);}if (k >= 1) {f[i][j][k] += f[i - 1][j][k - 1] * j * (m - j - k + 1);}if (j >= 2) {f[i][j][k] += f[i - 1][j - 2][k] * MathC(m - j - k + 2);}f[i][j][k] %= MOD;}}}int res = 0;for (int i = 0; i <= m; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {res += f[n][i][j];}}return res;}private static int MathC(int i) {return ((i * (i - 1)) / 2) % MOD;}
}

2.路灯

题目描述：妞妞有一天工作到很晚，回家的时候要穿过一条长l的笔直的街道，这条街道上有n个路灯。假设这条街起点为0，终点为l，第i个路灯坐标为ai。路灯发光能力以正数d来衡量，其中d表示路灯能够照亮的街道上的点与路灯的最远距离，所有路灯发光能力相同。为了让妞妞看清回家的路，路灯必须照亮整条街道，又为了节省电力希望找到最小的d是多少？

输入：

输入两行数据，第一行是两个整数：路灯数目n (1≤n≤1000)，街道长度l (1 ≤l≤10^9)。第二行有n个整数ai (0 ≤ ai≤ l)，表示路灯坐标，多个路灯可以在同一个点，也可以安放在终点位置。

输出：

输出能够照亮整个街道的最小d，保留两位小数。

样例输入：

7 15

15 5 3 7 9 14 0

样例输出：

2.50

分析过程：

找出相邻坐标差值中最大的，然后除以2就是最小的d。具体步骤如下：

输入路灯数目n、街道长度l；
输入路灯位置ai；
计算相邻路灯之间的距离S1，S2...
由于路灯发光能力相同，按照相邻路灯灯光刚好连接，最短发光距离应该是d=Si/2;
由于发光能力相同，而Si各不相同，为了满足照亮整个街道（灯光至少刚好连接）的条件，因此选取最大的Si*0.50；

算法实现：

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class StreetLamp {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);String n_l = sc.nextLine();String[] strNL = n_l.split(" ");int n = Integer.parseInt(strNL[0]);int l = Integer.parseInt(strNL[1]);if ((n >= 1 && n <= 1000) && (l >= 1 && l <= Math.pow(10, 9))) {String temp = sc.nextLine();if (!temp.isEmpty()) {String[] strNum = temp.split(" ");int len = strNum.length;if (len == n) {int[] ai = new int[len];for (int i = 0; i < len; i++) {int aiTemp = Integer.parseInt(strNum[i]);if (aiTemp < 0 || aiTemp > l) {break;}ai[i] = aiTemp;}String res = getResult(ai, n, l);System.out.println(res);}}}}private static String getResult(int[] ai, int n, int l) {Arrays.sort(ai);for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.println(ai[i]);}double res = 0.00;int i = 1;while (i <= n - 1) {double x = (ai[i] - ai[i - 1]) * 0.50;if (x > res) {res = x;}i++;}if (ai[0] - 0 > res) {res = ai[0] - 0;}if (l - ai[n - 1] > res) {res = l - ai[n - 1];}return String.format("%.2f", res);}
}