周期函数

周期函数表达式为：
f(x) = f(x + kT) (k = 1,2,3…)
如果该周期函数满足狄利赫里条件，那么该周期可以展开为傅里叶级数：
f(t)=a02+∑n=1∞(ancos⁡(nω1t)+bnsin⁡(nω1t))f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^\infty(a_{n}\cos{(n\omega_{1}t)}+b_{n}\sin{(n\omega_{1}t)}) f(t)=2a0+n=1∑∞(ancos(nω1t)+bnsin(nω1t))
其中傅里叶系数计算如下：
a02=1T∫t0t0+Tf(t)dt\frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T }{f(t)dt} 2a0=T1∫t0t0+Tf(t)dt
an=2T∫t0t0+Tf(t)cos⁡nω1tdta_{n} = \frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{f(t)\cos{n\omega_{1}tdt}} an=T2∫t0t0+Tf(t)cosnω1tdt
bn=2T∫t0t0+Tf(t)sin⁡nω1tdtb_{n} = \frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{f(t)\sin{n\omega_{1}tdt}} bn=T2∫t0t0+Tf(t)sinnω1tdt

方波信号的傅里叶级数展开

常见方波信号有两种，第一种表达式为：
f(t)={UkT≤t≤(kT+T/2)0(kT+T/2)≤t≤(kT+T)f(t) = \begin{cases} U &\text{} kT\le t \le (kT+{T}/{2}) \\ 0 &\text{}(kT+ {T}/{2}) \le t \le (kT + T) \end{cases} f(t)={U0kT≤t≤(kT+T/2)(kT+T/2)≤t≤(kT+T)
则方波信号得傅里叶级数展开得系数为：
a02=1T∫kTkT+T/2Udt=U2\frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{T} \int_{kT}^{kT+T/2}Udt = \frac{U}{2} 2a0=T1∫kTkT+T/2Udt=2U
an=2T∫kTkT+T/2Ucos(nω1t)dt=2UTnω1[sin(nω1t)]∣t=kTt=kT+T/2=Unπ[sin⁡(2nkπ+nπ)−sin⁡(2nkπ)]=0a_{n} = \frac{2}{T}\int_{kT}^{kT+T/2}Ucos(n\omega_{1}t)dt \\ =\frac{2U}{Tn\omega_{1}}[sin(n\omega_1t)]|_{t = kT}^{t = kT+T/2} \\ =\frac{U}{n\pi}[\sin{(2n k\pi+n\pi)} -\sin{(2nk\pi)}]= 0 an=T2∫kTkT+T/2Ucos(nω1t)dt=Tnω12U[sin(nω1t)]∣t=kTt=kT+T/2=nπU[sin(2nkπ+nπ)−sin(2nkπ)]=0
其中，ω1=2πf1\omega_1 = 2\pi f_1ω1=2πf1。ω1\omega_1ω1为基波角频率，f1f_1f1为基波频率。n和k均为整数。
bn=2Unπb_{n} = \frac{2U}{n\pi} bn=nπ2U
所以方波函数的傅里叶展开式为：
f(t)=U2+2Uπ∑n=1∞1nsin⁡2πf1tf(t) = \frac{U}{2} + \frac{2U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{2\pi f_{1}t}} f(t)=2U+π2Un=1∑∞n1sin2πf1t
式中：f₁ 为周期函数的频率。

第二种常见方波表达式为：

f(t)={UkT≤t≤(kT+a2)−U(kT+a2)≤t≤(kT+a)f(t) = \begin{cases} U &\text{} kT\le t \le (kT+\frac{a}{2}) \\ -U &\text{}(kT+ \frac{a}{2}) \le t \le (kT + a) \end{cases} f(t)={U−UkT≤t≤(kT+2a)(kT+2a)≤t≤(kT+a)
则方波信号得傅里叶级数展开得系数为：
a02=0\frac{a_{0}}{2} = 0 2a0=0
an=0a_{n} = 0 an=0
bn=4Unπb_{n} = \frac{4U}{n\pi} bn=nπ4U
所以方波函数的傅里叶展开式为：
f(t)=4Uπ∑n=1∞1nsin⁡2πf1tf(t) = \frac{4U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{2\pi f_{1}t}} f(t)=π4Un=1∑∞n1sin2πf1t
式中：f₁ 为周期函数的频率。

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