学习 3D数学基础 (矩阵1)
矩阵
一个4x3矩阵(4行，3列)
方阵
行数和列数相同的矩阵
对角矩阵
所有非对角元素为0
单位矩阵
向量作为矩阵
一个n维向量能被当做1xN矩阵或Nx1矩阵。
矩阵的转置
沿着矩阵的对角线翻转
向量的转置
标量和向量的乘法
矩阵和矩阵相乘
2x2矩阵相乘
3x3矩阵相乘
乘法定律
不满足交换率 ( AB!=BA A B ! = B A AB != BA）
满足结合律 ( (AB)C=A(BC) ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) 和标量，向量相乘同样满足)
矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序相乘
向量和矩阵的乘法
1x3矩阵乘3x3矩阵
3x3矩阵乘3x1矩阵
不满足之前提到的规律
DX中使用行向量，openGL使用列向量
几何解释
一般来说，方阵能描述任意线性变换
旋转
缩放
投影
镜像
仿射
根据三角形法则可以将向量转化为以下形式
p, q, r 为 +x, +y, +z 方向的单位基向量
v=px+qy+rz v = p x + q y + r z v = px + qy + rz
p, q, r 为行构建3x3矩阵
矩阵的每一行都能解释为旋转后的基向量
2D中的变换
3D中的变换
旋转
2D旋转矩阵
3D旋转
旋转需要知道方向的正负(左手法则，右手法则)
大拇指指向旋转轴的正方向，此时，四指玩去的方向就是旋转的正方形
绕X轴旋转
绕Y轴旋转
绕Z轴旋转
绕任意轴旋转
v′=vR(n,θ) v ′ = v R ( n , θ ) v' = vR(n, θ) (n为单位向量，θ为旋转角度)
推导
将V分解为平行于n的VⅡ,和垂直于n的V⊥
V=VⅡ+V⊥ V = V Ⅱ + V ⊥ V = VⅡ+ V⊥
V′=VⅡ′+V⊥′ V ′ = V Ⅱ ′ + V ⊥ ′ V' = VⅡ'+ V⊥'
∵VⅡ′//n ∵ V Ⅱ ′ / / n ∵ VⅡ' // n
∴V′=VⅡ+V⊥′ ∴ V ′ = V Ⅱ + V ⊥ ′ ∴ V' = VⅡ+ V⊥'
∵VⅡ是V在n上的投影 ∵ V Ⅱ 是 V 在 n 上 的 投 影 ∵ VⅡ是V在n上的投影
∴VⅡ=(nV)n|n|2 ∴ V Ⅱ = ( n V ) n | n | 2 ∴ VⅡ = \frac{(nV)n}{|n|^2}
∵n为单位向量 ∵ n 为 单 位 向 量 ∵ n为单位向量
∴VⅡ=(nV)n ∴ V Ⅱ = ( n V ) n ∴ VⅡ = (nV)n
∵V=VⅡ+V⊥ ∵ V = V Ⅱ + V ⊥ ∵ V = VⅡ+ V⊥
∴V⊥=V−VⅡ ∴ V ⊥= V − V Ⅱ ∴ V⊥ = V - VⅡ
∴V⊥=V−(nV)n ∴ V ⊥= V − ( n V ) n ∴ V⊥ = V - (nV)n
假设w为同时垂直于VⅡ，V⊥的向量，并且长度和V⊥相同，w和V⊥同时垂直于n的平面且w是V⊥绕n旋转90度的结果 假 设 w 为 同 时 垂 直 于 V Ⅱ ， V ⊥ 的 向 量 ， 并 且 长 度 和 V ⊥ 相 同 ， w 和 V ⊥ 同 时 垂 直 于 n 的 平 面 且 w 是 V ⊥ 绕 n 旋 转 90 度 的 结 果 假设w为同时垂直于VⅡ，V⊥的向量，并且长度和V⊥相同，w和V⊥同时垂直于n的平面且w是V⊥绕n旋转90度的结果
∴w=n×V⊥ ∴ w = n × V ⊥ ∴ w = n×V⊥
=n×(V−VⅡ) = n × ( V − V Ⅱ ) = n×(V - VⅡ)
=n×V−n×VⅡ = n × V − n × V Ⅱ = n×V - n×VⅡ
=n×V−0 = n × V − 0 = n×V - 0
=n×V = n × V = n×V
V⊥′=V⊥cosθ+wsinθ V ⊥ ′ = V ⊥ c o s θ + w s i n θ V⊥' = V⊥cosθ + wsinθ
=(V−(nV)n)cosθ+(n×V)sinθ = ( V − ( n V ) n ) c o s θ + ( n × V ) s i n θ = (V - (nV)n)cosθ+(n×V)sinθ
V′=V⊥′+VⅡ V ′ = V ⊥ ′ + V Ⅱ V' = V⊥' + VⅡ
=(V−(nV)n)cosθ+(n×V)sinθ+(nV)n = ( V − ( n V ) n ) c o s θ + ( n × V ) s i n θ + ( n V ) n = (V - (nV)n)cosθ+(n×V)sinθ + (nV)n
已经得到V’与v，n，θ的关系了，所以可以求出个基向量
缩放
2D缩放
3D缩放
沿任意方向缩放
n为缩放方向上的单位向量，k为缩放系数 n 为 缩 放 方 向 上 的 单 位 向 量 ， k 为 缩 放 系 数 n为缩放方向上的单位向量，k为缩放系数
V′=VⅡ′+V⊥′ V ′ = V Ⅱ ′ + V ⊥ ′ V' = VⅡ'+ V⊥'
∵V⊥′⊥n ∵ V ⊥ ′ ⊥ n ∵ V⊥' ⊥ n
∴V⊥′=V⊥ ∴ V ⊥ ′ = V ⊥ ∴ V⊥' = V⊥
∴V′=VⅡ′+V⊥ ∴ V ′ = V Ⅱ ′ + V ⊥ ∴ V' = VⅡ'+ V⊥
VⅡ′=kVⅡ V Ⅱ ′ = k V Ⅱ VⅡ' = kVⅡ
∴V′=kVⅡ+V⊥ ∴ V ′ = k V Ⅱ + V ⊥ ∴ V' = kVⅡ + V⊥
∵V⊥=V−VⅡ ∵ V ⊥= V − V Ⅱ ∵ V⊥ = V - VⅡ
VⅡ=(nV)n V Ⅱ = ( n V ) n VⅡ = (nV)n
∴V′=k(nV)n+V−(nV)n ∴ V ′ = k ( n V ) n + V − ( n V ) n ∴ V' = k(nV)n + V - (nV)n
=V+(k−1)(nV)n = V + ( k − 1 ) ( n V ) n = V + (k - 1)(nV)n
所以可以得出个基向量
2D缩放
3D缩放
镜像
2D镜像
3D镜像
组合变换
最常见的比如mvp矩阵
变换分类
线性变换
F(a+b)=F(a)+F(b) F ( a + b ) = F ( a ) + F ( b ) F(a+b) = F(a) + F(b)
F(ka)=kF(a) F ( k a ) = k F ( a ) F(ka) = kF(a)
仿射变换
仿射变换指线性变换后接着平移，因此仿射变换是线性变换的超集
可逆变换
如果存在一个逆变换可以撤销原变换，那么该变换可逆，除了投影变换其他基本变换均可逆，求逆矩阵等价于求矩阵的逆
等角变换
正交变换的基本思想是轴保持相互垂直，而且不进行缩放变换，平移，旋转，镜像是仅有的正交变换，正交矩阵的行列式为±1，所有正交矩阵都是仿射和可逆的
刚体变换
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