区分概率中的事件关系
前言
概率题目中,涉及到的事件比较多,关系复杂,如何区分这些事件的关系,对成功解决概率问题至关重要。
一、区分角度
- 互斥事件和对立事件
以掷骰子试验为例,向上的点数为1记为事件\(A\),向上的点数为2记为事件\(B\),向上的点数为奇数记为事件\(C\),向上的点数为偶数记为事件\(D\),
关系:\(A\)与\(B\)互斥关系;包含关系:\(A\subseteq C\);对立关系:\(C\)与\(D\)是对立关系;
判断方法:若事件\(A\)发生时,事件\(B\)必然不能发生,若事件\(B\)发生时,事件\(A\)必然不能发生,则事件\(A\)与\(B\)是互斥关系;
若事件\(A\)发生时,事件\(B\)必然不能发生,若事件\(A\)不发生时,事件\(B\)必然发生,则事件\(A\)与\(B\)是对立关系;
- 互斥事件和独立事件
这两个概念本是不必区分的,但实践中还是容易出错;想象有一个\(n\)层的书架,互斥事件就是同一层书架上的几本书之间的关系,互斥或对立。独立事件指的就是不同书架之间的几本书的关系;
判断方法:若事件\(A\)发生时,事件\(B\)必然不能发生,若事件\(B\)发生时,事件\(A\)必然不能发生,则事件\(A\)与\(B\)是互斥关系;若事件\(A\)的发生与否并不能决定事件\(B\)的发生与否,则事件\(A\)与\(B\)是相互独立关系;
- 独立事件和独立重复试验
10个射手,射击水平各不相同,则他们射中目标的概率各自都不相同,那么各自射击一次,就只是按照相互独立事件处理;若10个射手射击水平完全相同,其效果就像是一个高水平的射手连续射击10次,这时候就可以抽象为做了10次独立重复试验。
- 独立事件和二项分布
承接上例,10个射击水平各不相同的射手各自射击一次,其击中目标的概率只能按照相互独立事件的概率乘法公式计算;但若是10个射击水平相同的射手各自射击一次,其击中目标的概率既可以按照相互独立事件的概率乘法公式计算,当然还可以用更简便的方法(乘方是乘法的简便运算),即二项分布的概率计算公式来计算。
二、典例剖析
案例1甲、乙、丙三个射手打靶,其击中靶心的概率分别为0.6,0.7,0.8,则三个人各打靶一次,
分析:令甲、乙、丙三人击中靶心,分别为事件\(A\),\(B\),\(C\),则\(P(A)=0.6\),\(P(B)=0.7\),\(P(C)=0.8\),且\(P(\bar{A})=0.4\),\(P(\bar{B})=0.3\),\(P(\bar{C})=0.2\),且事件\(A\),\(B\),\(C\)相互独立,且事件\(\bar{A}\),\(\bar{B}\),\(\bar{C}\)等等相互独立。
①三人都击中靶心的概率为多少?
分析:令“三人都击中靶心”为事件\(D\),则\(D=ABC\),$P(D)=P(A)P(B)P(C)=0.6\times 0.7\times 0.8=\cdots $
②无人击中靶心的概率为多少?
分析:令“三人都没有击中靶心”为事件\(E\),则\(E=\bar{A}\bar{B}\bar{C}\),$P(E)=P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C})=0.4\times 0.3\times 0.2=\cdots $
③仅有一个人击中靶心的概率为多少?
分析:令“三人中仅有一人击中靶心”为事件\(F\),则\(F=A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C\),
\(P(F)=P(A\bar{B}\bar{C})+P(\bar{A}B\bar{C})+P(\bar{A}\bar{B}C)\)
\(=0.6\times 0.3\times 0.2+0.4\times 0.7\times 0.2+0.4\times 0.3\times 0.8=\cdots\)
案例2甲、乙、丙三个射手打靶,其击中靶心的概率分别为0.7,0.7,0.7,则三个人各打靶一次,
分析:三个人各打靶一次,由于三人击中靶心的概率都是0.7,相当于做了三次独立重复试验,设击中靶心的次数为\(X\),则\(X\sim B(3,0.7)\),且\(P(X=k)=C_3^k\cdot 0.7^k\cdot (1-0.7)^{3-k}\),\(k=0,1,2,3\),
①三人都击中靶心的概率为多少?
分析:\(P(X=3)=C_3^3\cdot 0.7^3\cdot (1-0.7)^{3-3}=0.7^3\),
②无人击中靶心的概率为多少?
分析:\(P(X=0)=C_3^0\cdot 0.7^0\cdot (1-0.7)^{3-0}=0.3^3\),
③仅有一个人击中靶心的概率为多少?
分析:\(P(X=1)=C_3^1\cdot 0.7^1\cdot (1-0.7)^{3-1}=3\times 0.7\times0.3^2\),
例3若事件\(A\),\(B\),\(C\)相互独立,且\(P(A)=0.25\),\(P(B)=0.50\),\(P(C)=0.40\),则\(P(A+B+C)\)等于【】
分析:由于事件\(A\),\(B\),\(C\)相互独立,则事件\(A+B+C\)表示事件\(A\)发生,或事件\(B\)发生,或事件\(C\)发生,即事件\(A\),\(B\),\(C\)中至少有一个发生,其对立面是一个都没有发生,
故\(P(A+B+C)=1-P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})\cdot P(\bar{C})=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.45)]\)
\(=1-0.225=0.775\),故选\(D\)。
- 用加号相连的事件之间的关系,一般是互斥的,但也有其他的关系,比如本题目。
转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10557821.html
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