度为n的不可约多项式和Fp^n 这个域的关系

前言：仅个人小记。

域FpF_pFp，p是素数。
域FpnF_{p^n}Fpn是域FpF_pFp的扩域，即Fp<FpnF_p<F_{p^n}Fp<Fpn。
f(x)∈Fp[x]={Σi=0naixi,ai∈Fp},其中n不受限制f(x)\in F_p[x]=\{\Sigma_{i=0}^na_ix^i,a_i\in F_p\},其中n不受限制f(x)∈Fp[x]={Σi=0naixi,ai∈Fp},其中n不受限制
如果f(x)f(x)f(x)是一个度为 n 的不可约多项式，则Fpn≅Fp[x]<f>={Fp[x]中所有度小于n的多项式}F_{p^n}\cong \frac{F_p[x]}{<f>}=\{F_p[x]中所有度小于n的多项式\}Fpn≅<f>Fp[x]={Fp[x]中所有度小于n的多项式}
显然，Fp[x]F_p[x]Fp[x]中度小于n的多项式一共有pnp^npn。这与FpnF_{p^n}Fpn中的元素个数为pnp^npn是吻合的。

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