串联的圆：有趣的心形线

“ 我思故我在。” ——卡笛尔

0 动机

在这篇文章里，将给大家介绍一下心形线及其画法，关于具体coding(编码)的东西以后再讲。关于心形线有一个浪漫的爱情故事，我们先讲完故事，再讲如何画心形线。

1 故事

《数学的故事》里面说到了数学家笛卡尔的爱情故事。笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典。1649年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，他见到了在街头偶遇的女孩子。从此，他当上了小公主的数学老师。

小公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，笛卡尔向她介绍了自己研究的新领域：直角坐标系。每天形影不离的相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，小公主克里斯汀苦苦哀求后，国王将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。

笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a(1-sinθ）。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，将全城的数学家召集到皇宫，但没有一个人能解开，他不忍心看着心爱的女儿整日闷闷不乐，就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀。

公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的“心形线”。

国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她一步走了，徒留她孤零零在人间...…据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。

【注：本故事摘抄自[1]】

2 真相

在历史上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。但笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到瑞典，而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王。笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题而不是数学。有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎，而不是黑死病。 [1]

3 画心

现在我们讲如何画心形线，心形线是一个圆上的固定一点，在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹。我写了一个画轨迹线的通用工具，基于HTML5的，脚本语言是用的JavaScript（正是我们前面哪个系列所讲的）。那么，我们看一下吧。^_^

首先看怎么画心形线：

其实，它是两个圆周的相对运动，我们将圆周显示出来：

那么，能同时画多个心形线吗？我们将各个圆的速度和半径调节到合适的位置，并设置好初始位置，看一下同时画两个的情况：

同时画三个：

继续增加，同时画4个：

还能增加吗？看下图：

您可以继续增加下去，只要您设置好主圆（相对其半径的端点运动的圆）和子圆（以主圆半径为圆心的圆）的速度和半径的比例，以及子圆的初始位置。

4 尺子

其实，上述程序类似于万花尺的画图工具，不知道您有没有用过玩花尺，万花尺流行于上个世纪末的80-90年代，在不同地区和时段也有不同的俗名和别称：百变尺、画花行家、齿轮尺、圈圈尺等。

万花尺由母尺和子尺两部分组成。常见的母尺是内环形齿轮，子尺是带多孔的外环形齿轮。作画时，将子尺内置于母尺内环之中，轮牙镶嵌，笔头插在子尺的小孔中，用笔带动子尺顺着母尺的内沿齿轮反复作圆周运动。在作画过程中，两者内外齿要始终靠合。完成后纸上便会留下一个不可思议的美丽花朵。子尺上小孔的极小位移会引起图案类型的极大变化。子尺形状的变化有很多，除了圆形，还有椭圆形，弧边的三角形、十字形、梅花形、方形、多边形等等。母尺的变化不大，但有些母尺的外沿也带齿轮，把子尺置于母尺外沿作环绕运动，这时画出的是花形圈。母尺的内环通常是圆形和椭圆形。[2]

使用上述程序，您可以模拟万花尺画出五彩缤纷、绚丽多彩的图形，您还可以随意调整各个尺子的旋转速度、位置、半径以及运动，您甚至可以调整旋转加速度、控制半径在绘图过程的变化以及母尺的运动。

下面，现在我们将画出来的圆，串联起来，看有什么效果吧。^_^

首先，我们把“你的心，我的心，串一串”，再让串联起来的圆跟随我们的鼠标运动。看一下效果：@_@

然后，我们将心和心之间添加一些弹性，看一下效果：wow!

好了，或许您可以将这些有趣的心发送给您的朋友，您的朋友只需要双击，就可以观看效果了。哈哈，说了这么多，想不想玩一把？关注本公众号，回复“心形线”，就可以得到以上所有程序的代码，您可以在电脑上直接运行该代码！Ok，以上。

[1]https://baike.baidu.com/item/%E5%BF%83%E5%BD%A2%E7%BA%BF/10018818?fr=aladdin

[2]https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%87%E8%8A%B1%E5%B0%BA/5114750?fr=aladdin