数学建模案例分析——“建立可持续发展的社区智能增长策略”

题目主题提取

目的：建立可持续发展的社区智能增长策略（长期、可持续）

智能增长：城市规划理论----抑制城市持续扩张，减少农田流失

三个方面

1. 经济繁荣（EP）

2. 社会公平（SEQ)

3. 环境可持续(ESU)

十个原则

1. 土地混合利用

2. 优先发展紧凑型住宅

3. 创造一系列住房机会和选择

4. 创造适于步行的街区

5. 培育具有鲜明的地方特色的，有吸引力的社区，使它们具有场所感

6. 保护公共空间，农场，自然景观和濒危环境区域

7. 加强和引导现有社区的发展

8. 提供多种交通出行方式

9. 使开发决策具有可预测性、公平性，提高其成本效益

10. 鼓励市民和利益相关者参与开发决策

因素

1. 人口
2. 增长的需要
3. 城市的地理条件

背景

1. 城市化成为必然趋势：据预测，到2050年，世界上大约66%的人口将会住进城市

2. 使用“城市扩张策略”在城市扩张过程中问题频出：环境污染、土地过度消耗、基础设施建设成本高

方法

1. 需要建立评价城市智慧增长成功与否的指标体系；

2. 需要提出可行的计划；

3. 应对个别倡议的潜力进行排序；

4. 需要解释“如果到2050年人口将增加50%”，该计划将以何种方式支持这种水平的增长。

任务点分析

tast 1

定义衡量一个城市智能增长成功的指标

步骤：

指标的选取

收集城市智慧增长的数据，分别从宾夕法尼亚匹兹堡和中国安徽宁国，基于三个方面、十个原则（见第一部分），找到共八十八个指标，通过聚类来设定标准，选取真实指标并对数据缺失加以改善。
采取主成分分析（Principal Component Analysis)减少指标的数量，最终得到25个指标作为主要指标。

构建三级评价体系

构建三级指标体系(1-5-25)来评价智慧增长的成功程度

求各级权重

使用熵权法（EWM）得到第三级指标的权重向量
使用群体决策法（GDM）得到第二级指标的权重向量
通过聚类（K-means）算法得到了智能增长成功的标准。

构建评价模型

以土地密度、社会公平度、交通质量、协调度和经济发展水平为指标，衡量城市智慧增长成功与否的指标体系

计算过程：

主成分分析法

针对88个代表城市智能增长的初始指标，运用如下方法进行整理，减少指标的数量。

首先，整理出代表智能增长的初始指标，分别用 X i ( i = 1 , 2 , . . . , 88 ) X_i(i=1,2,...,88) Xi(i=1,2,...,88)表示，并构成88维数向量 X = ( X 1 , X 2 , . . . , X p ) ’ X=(X_1 ,X_2 ,..., X_p)’ X=(X1,X2,...,Xp)’。设随机向量X的均值为 u u u，协方差矩阵为 ∑ \sum ∑

继而对向量进行线性变换，形成新的综合变量，用Y表示。

新的综合变量可以由原来的变量线性表示，满足下式：

为了取得更好的效果，希望的方差尽可能大且各 Y i = u 1 ′ X Yi=u_1'X Yi=u1′X之间互相独立。由于：

而对于任意给出的常数C，有：

因此若对 u i u_i ui不加以限制时， v a r ( Y i ) var(Y_i) var(Yi)可以任意增大，则问题无意义。

将线性变换约束在下面的原则之下：

基于以上三条原则决定的综合变量 Y 1 , Y 2 , . . . , Y p Y_1,Y_2,...,Y_p Y1,Y2,...,Yp分别称为原始变量的第一、第二、第p个主成分。其中，各综合变量在总方差中占的比重依次递减。

下面分五步讲述处理的具体方法：

此时，前面的数值系数越大，代表此主成分对整体的影响越大。

选取指标时，也采用了3E和SGP作为参考原则。

经过用主成分分析法减少指标的数量，最终得到25个指标作为首要指标

数据归一化

此时25个指标维度不同，为了方便比较，将所有数据转换到0到1之间。

将指标分为三类：成本型指标、效益型指标和适度型指标。

成本型指标指数越小，智能增长的成功程度越好，因此将指标正向化，转换为极大型（ m a x − x ）（max-x）（max−x）

效益型指标越大，表示智能增长的成功程度越好，计算方法如下

中间型指标表示接近某个特定值时智能增长的成功程度更好，将其以如下方法化为极大型指标

三种指标通过不同方式规范化之后，统一成了极大型指标，此时可以进行比较。

定性指标的量化

采用模糊评价的方法，提出适合的指标量化定性指标。

由层次分析法得到：

U U U——评价集

A A A——权重集

W W W——由注释组成的一组解，例如更好的、更差的等等。

用模糊评价矩阵 R R R 来描述 W W W 和 U U U之间的关系。

综合评价模型 P P P 是由 P = A ∗ R = ( p 1 , p 2 , . . . , p n ) P=A*R=(p_1,p_2,...,p_n) P=A∗R=(p1,p2,...,pn)得到的。

其中：

（1） p n = V ( a i j Ʌ r i j ) p_n=V (a_{ij}Ʌr_{ij}) pn=V(aijɅrij) , r i j r_{ij} rij是用 W W W 计算得到的；

（2） Ʌ Ʌ Ʌ表示 a i j 和 r i j a_{ij}和r_{ij} aij和rij之间的最小值；

（3） Ʌ Ʌ Ʌ代表联合执行活动 ( a i j Ʌ r i j ) (a_{ij}Ʌr_{ij}) (aijɅrij)中的最大值

最后，让 F F F 表示得分的集合，评价得分 Z Z Z 最终由以下公式计算：

评价指标的权重模型

采用两种甲醛模型计算权重向量

（一）基于熵权方法的甲醛模型(EWM)

目的：对指标进行目标处理，降低指标的维数，统一指标的维数。

具体方法：基于相关系数的熵权方法

具体算法：

第一步：数据维度

使用以下公式将不同的索引值进行规范化，统一数据维度

第二步：熵值

使用以下公式，计算各个指标的比值

第三步：相关系数

计算各个指标的相关系数(使用对大量数据进行聚类得到的标准指数熵S)

第四步：组合优化

通过以下公式(优化模型)来计算熵权(使用第三步中计算得来的熵权)

第五步：权重获得

通过第四步得到最终的权重—— W k W_k Wk

（二）基于群体决策方法的权重模型

目的：将指标综合

方法：
使用一致性判断矩阵(GDM)对每一级指标进行加权

使用群体决策方法，使用下列公式，将SG权重与矩阵的权重将结合

检验可靠性的方法：

1. C I = ( λ m a x − n ) / ( n − 1 ) CI=(λ_{max}-n)/(n-1) CI=(λmax−n)/(n−1) 趋近于零

2. 计算一致性比率 C R = C I / R I CR=CI/RI CR=CI/RI （ n = 1 , 2 , . . . , 20 ) （n=1,2,...,20) （n=1,2,...,20)

综合评价指标体系

通过前文中计算所求得的指标及其权重，我们可以确定出五个二级指标（即智慧增长城市的五个维度）:土地密度、协调度、社会公平度、经济发展水平(EDL)和交通质量，以及25个三级指标及其权重。

其中一级指标智慧增长成功程度（SDSG），可以用权重法计算得出：

而其中的 w i （ i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) w_i（i=1,2,3,4,5) wi（i=1,2,3,4,5)为上边所求的第二级指标的权重。比重如下：

通过以上所有步骤，我们可以建立一个三级评价体系，以此来衡量智慧增长的成功程度。三级评价体系如下图所示：

智能增长的度量

步骤一：构建评价标准

我们需要建立一个合适的标准来评估城市中智能增长的成功程度，在这一部分，我们采用的方法是K均值聚类算法，基本步骤如下：

根据上述计算出的两个类中心，求出指标中心的平均值作标准边界，从而构造出智能增长的标准：

步骤二：衡量城市智慧增长的成功度

使用以上标准对25个二级指标进行评价：

其中数据集 x x x 为25个二级指标， k = 3 k=3 k=3（ k k k表示数据子集的数量）， μ k μ_k μk表示分区的排序中心，则：

其中 J ( c k ) J(c_k) J(ck)表示到排序中心距离的平方和。主成分分析法的目标是解决以下优化问题：

求解过程如下：

根据以上聚类结果结合区间标准，可以对二级指标进行定性评价。（用正常、良好、优秀衡量城市的五个维度），从而绘制出雷达图来评价城市在智慧增长方面的成功。

tast 2

研究当前已选城市的发展规划。衡量并探讨当前各城市的增长计划是如何满足智能增长原则的。根据你的指标，评估计划是否成功。

步骤：

研究问题

衡量城市当前增长计划的优缺点

研究样本

美国宾夕法尼亚州匹兹堡市和中国安徽宁国市

使用方法

tast1中提出与构建的度量方法

计算过程：

宁国基本情况：

总人口为38.38万人，面积2487平方公里

宁国的规划：

1. 发展特色产业和高新技术企业。

2. 推进农业产业化、专业化。

3. 加强交通运输设施建设。

4. 让每个公民都有平等受教育的权利。

5. 增强城市特色。

匹兹堡基本情况：

322450人，拥有300多家钢铁相关企业，446座桥梁

匹兹堡的规划：

1. 让人们住在翻新过的房子里，享受公园、商店和教堂。

2. 保护和恢复生态环境。

3. 减少空气污染、水污染、固体污染。

根据tast2中的指标体系和标准，计算出五个反映城市五个维度的指标 : 土地密度、社会公平度、交通质量、协调度和经济发展水平

通过以上的计算，评价了两个地点发展计划的优缺点，并分析了原因。

tast 3

利用智能增长原则，为这两个城市制定增长计划。基于城市的地理位置、预期增长率以及经济机会因素，阐明选择该计划中各组件的原因以及选择的动机。用你的指标来评估你的智能增长计划是否成功。

步骤：

指定plan的依据

根据城市的指标值，并且考虑到目前两个城市的增长计划还有改进的空间这一问题。

使用方法

1. 使用支持向量机(SVM)、加权平均法(WMAM) 来预测指标的变化；
2. 采用组合预测模型，是预测误差最小化；
3. 通过比较法（比较目前的城市规划和我们智慧增长计划的指标）来判断智慧增长计划的成功与否。

计算过程：

增长计划

匹兹堡的增长计划如下所示（结合十个原则与匹兹堡的规划制定）：

1. 根据十个原则中的1、2、3需求和匹兹堡的1计划，要提高土地集约率，实现土地利用年均增长1%
2. 根据十个原则中的5、7需求，优化经济发展结构，使经济效益指标年均提高2%
3. 根据十个原则中的10需求，鼓励社区和利益相关者在发展决策中进行协作

宁国的增长计划如下（根据十个原则与宁国的规划指定。说明：对于宁国，由于其智能增长水平较低，我们提出了更详细的计划）

1. 根据十个原则中的1、2、3需求，要充分利用土地。宁国政府应该鼓励高层住宅的建设。可提高建筑容积率，提高空间利用效率
2. 根据十个原则中的6、7需求，要提高协调度，宁国政府应该加强对工厂的控制，培养居民的环保意识
3. 根据宁国的1计划，为推动经济发展，我们建议宁国政府扩大投资，鼓励中小企业发展
4. 根据十个原则中的9需求与宁国的4计划，为了促进社会公平，宁国政府应该加强对弱势群体的保护，比如增加儿童福利
5. 根据宁国的3计划，为改善交通质素，政府应适当提高路网密度，确保道路畅通

预测模型

使用基于支持向量机(SVM)的预测模型来“根据给定的样本估计系统的输入与输出之间的关系，从而预测指标的变化时间”。

选取原因：支持向量机中有许多子程序。可以使用SVR学习方法寻找时间和指标之间的映射函数；使用径向基函数将两个城市的数据输入到SVR中作为列车数据，将指标值作为列车标签；使用交叉验证来验证我们的火车模型的效果；采用网格搜索算法寻找预测模型中最优的参数，确定RBF核。

（一）基于时间序列预测的预测模型

基于加权移动平均法(WMAM)来预测未来数据。

选取原因：有必要建立一个合适的预测模型去解决未来位置的数据。

（二）组合预测模型(CPM)

结合SVM和WMAM在预测方面的优势，采用CPM预测未来指数值。

选取原因：根据组合预测模型，可以预测两个城市在当前该计划下，未来只能增长的成功程度。

taxt 4

再次使用指标，将重新设计的智能增长计划中的各项计划按潜力进行排名，并将两个城市之间各项计划及其排名进行对比。

步骤：

效果评估依据

通过我们建立的指标来评估个体主动性的单一效果

选取评估效果依据

宁国经济发展的主动性是智慧增长成功的最大潜力，匹兹堡的最大潜力则是提高土地集约率的主动性。

对各个项目进行排名

原因：两个城市有很多方面需要改善，政府没有那么多的钱来实施每一个举措，在我们重新设计的智能增长计划中，我们必须将各个项目按潜力从最大到最小进行排序。

采用方法----组合预测模型

据图分析：这几项倡议的潜力排序为（潜力由大到小）：

匹兹堡：

第三项倡议(提高土地集约率)>第一项倡议>第二次倡议(优化经济发展结构)

宁国：

第三项倡议(推动经济发展)>第二项举措(加强对工厂的控制，培养居民的环保意识)>第一个创举(增加容积率，提高空间利用效率)>第四个倡议(保护弱势群体，如增加儿童福利)>第五项倡议(适当提高路网密度，确保道路畅通)

总结

不同的城市有不同的环境，相对应也会有不同的规划，各项倡议的排名也会不同。要根据不同城市的不同环境制定与修改。

taxt 5

步骤

1. 根据两个城市之间的人口结构不同，采取了两种不同的人口增长模型(PGM)来预测人口的变化。

2. 匹兹堡的适应性计划匹兹堡是一个有着精明增长计划的城市。有合适的人口增长方式。人口增长率是城市智慧发展的一个重要因素。

3. 针对宁国的实际情况，提出了人口增长模型(PGM)，通过对宁国一些趋势改善的指导方针规划，可以有效改善人口快速增长的缺陷。

分析

PGM计算的增长率表明，我们的计划可以自适应调整，以满足日益增长的人口需求。分析该制度的优缺点，使该研究可以满足ICM的需要，将合理的增长理论引入城市设计中。

优势与劣势

优势：权重更有效、提高预测精度、结果更加生动

劣势：因时间问题导致数据的丢失，带来评估的误差、可用数据较少

制作者：
2021数学建模小组：霖芊尘

制作时间：
2021.11.03