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IOI2009

题目描述

普罗夫迪夫的著名巧克力大师 Bonny 需要切开一板带有葡萄干的巧克力。

巧克力是一个包含许多相同的方形小块的矩形。小块沿着巧克力的边排列成 nnn 行 mmm 列，即共有 n×mn\times mn×m 块。每个小块上有 111 个或多个葡萄干，没有葡萄干在小块的边上或者跨过两个小块。

最开始，巧克力是一整块。Bonny 需要把它切成上述的 n×mn\times mn×m 个独立的小块。因为 Bonny 很忙，她需要她的助手 Sly peter 帮她切。

Peter 只能从一端到另一端切直线，并且他要为他的每一刀得到报酬。Bonny 手头没有钱，但是她有足够的葡萄干，所以她提出用葡萄干付给 peter。Sly peter 同意接受葡萄干，但是有下面的条件：每次他把给定的一块巧克力切成两小块，他都要得到和那块给定的巧克力上葡萄干数目相同的葡萄干。

Bonny 想要付给 peter 尽可能少的葡萄干。她知道这 n×mn\times mn×m 个小块中每一个小块上葡萄干的数目。她可以选择递给 peter 的巧克力的顺序，也可以告诉 peter 如何切（横切还是竖切）以及从哪里切。请告诉 Bonny 如何把巧克力切成一个个独立的小块，使她能够付给 Sly peter 尽可能少的葡萄干。

任务：写一个程序，给定每个小块上葡萄干的数目，计算 Bonny 要付给 Sly peter 的最少的葡萄干的数目。

输入格式

你的程序必须从标准输入中读取下列数据：第一行包含整数 nnn 和 mmm，以一个空格隔开。

接下来的 nnn 行描述了每个小块上葡萄干的数目。这 nnn 行中第 kkk 行描述的是第 kkk 行小块的巧克力。每行包含 mmm 个整数，分别以一个空格隔开。这些整数描述的是该行从左到右的小块。第 kkk 行的第 ppp 个整数表示位于第 kkk 行第 ppp 列的小块上的葡萄干数目。

输出格式

你的程序必须向标准输出写入一行，该行包含一个整数：Bonny 要付给 Sly peter 的最少的葡萄干的数目。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
2 7 5
1 9 5

样例输出 #1

提示

对于 25%25\%25% 的数据，n,m≤7n,m\leq 7n,m≤7。

对于 100%100\%100% 的数据，1≤n,m≤501\leq n,m\leq 501≤n,m≤50，每小块上的葡萄干数目 si,js_{i,j}si,j 满足 1≤si,j≤1031\leq s_{i,j} \leq 10^31≤si,j≤103。

拓展：

不会吧不会吧，不会还有人不知道二维前缀和怎么算吧！

核心代码： si.j=si−1,j+si,j−1−si−1,j−1+ai,js_{i.j}=s_{i-1,j}+s_{i,j-1}-s_{i-1,j-1}+a_{i,j}si.j=si−1,j+si,j−1−si−1,j−1+ai,j

其中，sss 表示前缀和数组，kkk 表示原数组。

我们可以用一个图形来理解一下：

整个面积就是 si,js_{i,j}si,j，si−1,js_{i-1,j}si−1,j 相当于 a+ba+ba+b，si,j−1s_{i,j-1}si,j−1 相当于 a+ca+ca+c，ki,jk_{i,j}ki,j 相当于 ddd，si−1,j−1s_{i-1,j-1}si−1,j−1相当于aaa。

很显然：

si,j=a+b+c+d=(a+b)+(a+c)−a+d=si−1,j+si,j−1−si−1,j−1+ki,j\begin{aligned} s_{i,j} &=a+b+c+d \\ &=(a+b)+(a+c)-a+d \\ &=s_{i-1,j}+s_{i,j-1}-s_{i-1,j-1}+k_{i,j} \end{aligned} si,j=a+b+c+d=(a+b)+(a+c)−a+d=si−1,j+si,j−1−si−1,j−1+ki,j

当然，这不是严谨的推论，图也不标准，仅供参考。

思路:

显然的，当有一个矩阵满足：

左上角坐标为 (a1,b1)(a1,b1)(a1,b1)，右下角坐标为 (a2,b2)(a2,b2)(a2,b2)

则这个矩阵的最优解为：

将这个矩阵切开（横、竖）后的两个矩阵的最优解中的最小值与这个矩阵的各元素之和。

如上，是横着切和竖着切的两种情况。

所以，我们可以 dfs 枚举每一刀切的位置。同时，用记忆化删去部分冗余的计算。定义一个数组 fa,b,c,df_{a,b,c,d}fa,b,c,d 进行记忆化搜索。

代码：

#include<bits/stdc++.h>//支持万能头文件！！
using namespace std;
int n,m;
int ra[60][60];         //每块巧克力上的葡萄干数量
int f[60][60][60][60];  //记忆化
int dfs(int a,int b,int c,int d)
{if(f[a][b][c][d]!=0)//如果已经切过这种情况了return f[a][b][c][d];//直接返回  if(b==d&&a==c)  return 0;//如果开始点和结束点是同一点,即没法切了，就returnint ma=1e10;//赋一个极大值，以便后来作min运算for(int i=a;i<c;i++)  ma=min(ma,dfs(a,b,i,d)+dfs(i+1,b,c,d));//横着切，即上边加下边for(int i=b;i<d;i++) ma=min(ma,dfs(a,b,c,i)+dfs(a,i+1,c,d));//竖着切，即左边加右边for(int i=a;i<=c;i++)for(int j=b;j<=d;j++)ma+=ra[i][j];//要付出多少葡萄干return f[a][b][c][d]=ma;/*等价于:f[a][b][c][d]=ma;return f[a][b][c][d];*/
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>ra[i][j];   //循环输入葡萄干}}cout<<dfs(1,1,n,m);return 0;
}

这种做法开 O2 就可以 AC 了，但是，作为一个合格的 oier ,我们应该不断追求更好的做法。

优化思路:

因为考虑到每进行一次 dfs，就要算一遍葡萄干的和，所以很自然地想到利用前缀和数组来优化。

每输入一个数，则对其进行前缀和计算。就避免每次搜索都用一个双层循环来计算。

前缀和代码： si.j=si−1,j+si,j−1−si−1,j−1+ai,js_{i.j}=s_{i-1,j}+s_{i,j-1}-s_{i-1,j-1}+a_{i,j}si.j=si−1,j+si,j−1−si−1,j−1+ai,j

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>//支持万能头文件！！
using namespace std;
int n,m;
int ra[60][60];         //每块巧克力上的葡萄干数量
int f[60][60][60][60];  //记忆化
int cc[60][60];         //前缀和数组
int dfs(int a,int b,int c,int d)
{if(f[a][b][c][d]!=0)//如果已经切过这种情况了return f[a][b][c][d];//直接返回  if(b==d&&a==c)  return 0;//如果开始点和结束点是同一点,即没法切了，就returnint ma=1e10;for(int i=a;i<c;i++)    ma=min(ma,dfs(a,b,i,d)+dfs(i+1,b,c,d));//横着切，即上边加下边for(int i=b;i<d;i++) ma=min(ma,dfs(a,b,c,i)+dfs(a,i+1,c,d));//竖着切，即左边加右边f[a][b][c][d]=ma+cc[c][d]-cc[a-1][d]-cc[c][b-1]+cc[a-1][b-1];//这里使用前缀和优化return f[a][b][c][d];
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){cin>>ra[i][j];   //循环输入葡萄干cc[i][j]=ra[i][j]+cc[i][j-1]+cc[i-1][j]-cc[i-1][j-1];//计算前缀和}}cout<<dfs(1,1,n,m);return 0;
}

这样不用 O2 就可以过了！

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