（上海站icpc）Steadily Growing Steam（动态规划）

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简化题意：就是给你n张牌，然后每张牌有一个点数和一个价值，然后你可以对其中k张牌修改将其点数扩大一倍，当然修改的牌数也可以小于k，然后你将这n张牌选出其中一部分放入两个集合，使得每个集合的牌的点数和相等，然后求满足这样条件的两个集合内部的最大价值和。

分析：其实看到这道题一开始很容易想到令f[i][j][k]表示第一个集合和第二个集合内的牌的点数分别为i和j且当前已经用的修改次数为k时的集合最大价值和，但是很容易发现数组开不了这么大，于是换成构造两者差值，令f[i][j][k]表示考虑前i个商品且当前集合A点数和比集合B点数和多j且已经用了k次修改机会的集合最大价值和，由于集合B也有可能比集合A点数大导致j为负值，所以我们有必要给数组第二维加一个偏移量，考虑每张牌的最大点数为13，且均可能翻倍，也就是每张牌的最大点数为26，共有100张牌，也就是2600，所以偏移量应设置为2600，这样第二维就变成了5200，但是这样写完代码后发现会超时，所以我们需要继续优化，这里我们优化的方法类似于剪枝，不妨思考一下，假如我们当前集合A比集合B点数和高了1300及以上，那么代表A内的集合点数已经大于了1300，那么剩余所有的牌均加入B集合也不可能使得集合A和集合B点数相同了，也就是说我们剩下部分的更新是无意义的，所以我们就可以将偏移量设置为1300，这样我们就可以通过了

具体更新过程：

对于每个状态f[i][j][k],我们进行如下考虑：

首先我们考虑不加入第i张牌，那么就有f[i][k][j]=f[i-1][k][j]

我们考虑第i张牌的点数v[i]：

如果k大于2*v[i]，也就是我们把第i张牌的点数使用一次翻倍再加入B集合

如果k大于v[i]，也就是我们直接把第i张牌加入B集合

如果k+2*v[i]<=2600，这种情况我们就可以把第i张牌使用一次翻倍后加入A集合

如果k+v[i]<=2600，这种情况我们就可以直接把第i张牌加入A集合

于是就有了下面的动态转移方程：

for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)for(int k=0;k<=2600;k++){f[i][k][j]=f[i-1][k][j];if(k>=2*v[i]&&j>=1)f[i][k][j]=max(f[i][k][j],f[i-1][k-2*v[i]][j-1]+w[i]);if(k>=v[i])f[i][k][j]=max(f[i][k][j],f[i-1][k-v[i]][j]+w[i]);if(k+2*v[i]<=2600&&j>=1)f[i][k][j]=max(f[i][k][j],f[i-1][k+2*v[i]][j-1]+w[i]);if(k+v[i]<=2600)f[i][k][j]=max(f[i][k][j],f[i-1][k+v[i]][j]+w[i]);}

最后我再说一下初始化，一定需要注意的是初始化f数组时一定不能初始化为0，因为牌的权值有负值，所以我们应该设置为负无穷大，否则就只能通过87%的样例

下面是代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=103;
typedef long long ll;
ll f[N][3003][N],w[N],v[N];
int main()
{memset(f,-0x3f,sizeof f);f[0][1300][0]=0;int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&w[i],&v[i]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)for(int k=0;k<=2600;k++){f[i][k][j]=f[i-1][k][j];if(k>=2*v[i]&&j>=1)f[i][k][j]=max(f[i][k][j],f[i-1][k-2*v[i]][j-1]+w[i]);if(k>=v[i])f[i][k][j]=max(f[i][k][j],f[i-1][k-v[i]][j]+w[i]);if(k+2*v[i]<=2600&&j>=1)f[i][k][j]=max(f[i][k][j],f[i-1][k+2*v[i]][j-1]+w[i]);if(k+v[i]<=2600)f[i][k][j]=max(f[i][k][j],f[i-1][k+v[i]][j]+w[i]);}ll ans=-0x3f3f3f3f;for(int i=0;i<=m;i++)ans=max(ans,f[n][1300][i]);cout<<ans;return 0;
}

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