台球类html5游戏的AI设计与核心算法的实现

前言:

08年的时候, 写过一个台球游戏, 用的是java, 不过代码真的是用传说中的神器notepad写的(你信吗? 其实是用GVIM写的, ^_^), 很多类都在同一java文件中编写。可见当时的JAVA水平真的不咋地, 时过进迁, 还是一样的不咋地。

这边是当时的CSDN下载链接实现比较简单。后来写过一个版本, 比这个要强大许多, 可惜源码丢失了。

效果展示入下图所示：

本文想讲述下台球游戏中核心算法的实现, 以及游戏AI的设计技巧。当然自己也有个小愿望, 希望能实现一个html5版的台球游戏。

基础物理知识：

1、摩擦阻力

其满足牛顿第二定律：

f = m * a

速度与加速度关系公式：

vt = v0 + a * t

地面摩擦力与运动物体的方向相反, 阻碍物体的向前运动。

2、动量守恒

假设物体A质量为m1, 速度为v1, 物体B质量为m2, 速度为v2, 碰撞后速度分别为v1', v2'。

则满足动量守恒定律：

m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v1' + m2 * v2'

碰撞类型和能量守恒定律

1)完全弹性碰撞

动能没有损失, 则满足如下公式：

1/2 * m1 * v1^2 + 1/2 * m2 * v2^2 = 1/2 * m1 * v1'^2 + 1/2 * m2 * v2'^2

注: 前后物体的动能保持均衡, 没有其他能量的转化。

结合之前的动量守恒定律, 我们可以进一步得到：

v1' = [(m1-m2) * v1 + 2 * m2 * v2] / (m1 + m2)

v2' = [(m2-m1) * v2 + 2 * m1 * v1] / (m1 + m2)

2)完全非弹性碰撞

则存在其他能量的转化, 动能不守恒。

且此时两物体粘连, 速度一致, 即v1'=v2', 此时动能损失最大。

3)弹性碰撞

介于完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞两者之间。动能有损失的。

物理模型：

台球游戏中, 最核心的就是其物理模型的抽象及其碰撞算法的执行过程了。

鉴于是2D版的台球游戏, 因此我们对物理模型做下简化, 球运动的方向必然穿越球的中心。

把每个台球抽象为圆(x, y, radius), 而台球桌边框抽象为线段((x1, y1), (x2, y2))。

1、碰撞检测

1)检测球与球碰撞

我们假定球A(x1, y1, r), 球B(x2, y2, r)。则满足条件：

(x1 - x2) ^ 2 + (y1 - y2) ^ 2 <= (2*r) ^ 2

则发生碰撞, 否则没有发生碰撞

2) 检测球与球台边框碰撞

相对比较简单。求球心到边框的垂直距离即可, 若小于等于则发生碰撞, 若大于则没有。

2、碰撞反应

1)球与球的碰撞反应

动量是向量, 其在正交的两个方向上, 互相守恒。我们选取两球圆心的直线为x轴, 垂直于圆心直线的为y轴。如上图所述。

x轴上满足动量守恒：

m1 * Vx + m2 * Ux = m1 * Vx' + m2 * Ux'；

并假定两球碰撞是完全弹性碰撞, 两球质量相等m1=m2, 依据基础物理知识篇的结论。

Vx' = [(m1-m2) * Vx + 2 * m2 * Ux] / (m1 + m2) = Ux；

Ux' = [(m2-m1) * Ux + 2 * m1 * Vx] / (m1 + m2) = Vx；

在X轴方向, 两球交换速度, 而在Y轴方向, 两球分速度不变。

Vy' = Vy；

Uy' = Uy；

最终碰撞后的速度公式为：

V' = Vx' + Vy' = Ux + Vy；

U' = Ux' + Uy' = Vx + Uy；

2)球与边框的碰撞反应

把台球边框视为质量无穷大, 则简单把运动的球, 其在垂直边框的分方向反向即可。

假定碰撞碰撞平面为x轴

Vx' = Vx；

Vy' = -Vy；

最终速度公式为：

V' = Vx' + Vy' = Vx - Vy；

碰撞执行算法：

游戏的主循环往往遵循如下代码结构：

while ( true ) {
game.update(time_interval);
game.render();
}

复制代码

这个时间间隔(time_interval), 由游戏的FPS来确定。以24帧为例, 每40毫秒刷新一次。

对于台球本身而言, 若以该time_interval为更新周期, 使得运动的球体满足：

Vt = V0 + a * t

运行距离为：

S = V0 * t + 1/2 * a * t^2。

然后来检测球体是否发生了碰撞, 然后进行碰撞反应处理。看似没有问题。

但是当球体初速度很快时, 在time_interval中有可能, 发生穿越现象。

如下图所展示的现象：

紫色球在t2时刻, 和蓝球检测到碰撞, 但实际上, 在紫球在t1~t2之间的某时刻和蓝球发生了碰撞。

为了解决该问题, 在具体的算法中, 手游账号转让需要引入更细的时间分片slice, 该过程在具体的update中进行模拟。

整个台球场景的更新函数：

void update(time_interval) {
while time_interval > 0:
// 碰撞检测
if detectionCollide(time_interval, least_time, ball_pairs):
// 游戏更新least_time
billiards.update(least_time)
// 对碰撞的两球进行碰撞反应
collideReaction(ball_pairs=>(ball, other))
// time_interval 减少 least_time
time_interval -= least_time
else：
// 游戏更新least_time
billiards.update(time_interval)
time_interval = 0
}

复制代码

注: 碰撞反应, 按物理模型篇讲述的来。

而具体的碰撞检测算法为：

/*
@brief
在time_interval 时间内, 返回最先碰撞的球或台球边, 以及时间点
*/
bool detectionCollide(time_interval, least_time, ball_pairs) {
res = false;
least_time = time_interval;
foreach ball in billiards:
foreach otherBall in billiards:
// 求出两球的距离
S = distance(ball, otherBall)
// 以某一球作为参考坐标系, 则令一球速度向量变为 U’=U-V
// 在圆心的直线作为x轴
Ux(relative) = Ux(other ball) - Vx(ball)
// 若该方向使得两球远离, 则直接忽略
if Ux(relative) < 0：
continue
// 某该方向使得两球接近, 则可求其碰撞的预期时间点
A' = 2 * A; // 加速度为原来的两倍
// 取两者最小的时间点
delta_time = min(time_interval, Ux(relative) / Ax’)
// 预期距离小于两球距离，则在time_interval中不会发生碰撞
if 1/2 * Ax’ * delta_time ^ 2 + Ux(relative) * delta_time < S - 2*r:
continue
// 解一元二次方程, 使用二分搜索逼近求解
res_time <= slove(1/2 * Ax’ * x ^ 2 + Ux(relative) * x = S - 2 * r)
if res_time < least_time:
ball_pairs <= (ball, otherBall)
least_time = res_time
res = true
foreach wall in billiards:
S = distance(ball, wall)
// 设垂直于平面的方向为x轴
if Vx < 0:
continue
// 取两者最小的时间点
delta_time = min(time_interval, Vx / Ax)
// 预期距离小于两球距离，则在time_interval中不会发生碰撞
if 1/2 * Ax * delta_time ^ 2 + Vx * delta_time < S - r:
continue
// 解一元二次方程, 使用二分搜索逼近求解
res_time <= slove(1/2 * A * x ^ 2 + Vx * x = S - r)
if res_time < least_time:
ball_pairs <= (ball, walll)
least_time = res_time
res = true
return res
}

复制代码

注: 对于一元二次方程, 也可以借助分1000个细粒度时间片, 然后计算逼近求解。

台球模拟碰撞算法过程, 大致就是如上所述。

计算最复杂的时刻, 其实就是开球, 打散一堆球的时候。

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