cf/codeforces#369-E - ZS and The Birthday Paradox- 数学+gcd+逆元+勒让德定理

引理：

勒让德定理：http://baike.baidu.com/link?url=mqSXfFsk18D6zM7C1IVMh11M-3PaDRwCzqnB2ThJFymE98UuTGjmStD_uyEiPUb3Fw7QihFVfZaFeGo8kCkSMK

在正数n!的素因子标准分解式中，素数p的指数记作

，则

证明百科上面也有：

这个似乎很好理解啊。。。。n/2，代表1到n里有多少个数能整除2，n/4,代表有多少个数能整除两个2，n/8代表整除3个2。。。。以此类推。。。n/2+n/4+n/8....就是一共有多少个2能被整除

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Problem cf/codeforces#369-E - ZS and The Birthday Paradox-

题目大意

告诉你假设一年有2^n 天，k个人里有至少两个人在同一天生日的概率

假设该概率为p/q （最简形式），请输出p ，q 分别对 1e6+3取模后的值

　　数据范围：n , k <= 10^18。

解题分析

　　首先如果k>2^n ，答案为1/1

否则答案可以很容易推出是 1- （2^n-1）*(2^n-2)*....*(2^n-k+1)/(2^(nk))

假设算到了答案，那么我们得先约分啊，约分就得求gcd啊，显然下面分母是2的幂，gcd必然也是2^i，那么我们只要求出这个gcd，套个逆元暴力求分子分母就ok了。

怎么算gcd呢？既然gcd是2^i,那就算i即可，也就是计算(2^n-1)* ... *(2^n-k+1)含多少个因子2，

而这个就用到【勒让德定理】了，logk求出 k!里含多少个2.

知道了这个，用费马小定理，暴力求分子即可。

注意的是，分子最多有k项，k<=1e18，但是实际不用算那么多。

当k-1>=mod时，也就是说某一项（2^n%mod-i）==0 ,显然该部分分子实际为 (2^n-i),而其要对mod取模，如果前面的条件满足，则取模后必为零，答案就是0，可以不用再算了。所以要计算的分子最多就是min(k,mod)项

复杂度 min(mod，k)+ logk.logn

参考程序

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;const double pi=acos(-1.0);
double eps=0.000001;
typedef long long  ll;
const int N=2*100000+50;
const ll mod=1e6+3;
long long powe_m(long long  a,long long  b )
{long long ans=1;long long tmp=a;while(b!=0){if (b&1)ans=ans*tmp%mod;tmp=tmp*tmp%mod;b=b>>1;}return ans;
}
ll cal_gcd(ll k)
{/*   for(int i=0; i<k; i++) //  (2^n-i)if (i%2==0)      num+=count_two_num(i);*/ll num=0;for (ll kk=k-1;kk;kk/=2) num+=kk/2;return num;
}
int  main()
{ll n,k;cin>>n>>k;if (n<=63){ll tmp=1LL<<n;if (k>tmp){printf("1 1\n");return 0;}}// ans = 1- A(2^n,k) / 2^(nk)ll num= cal_gcd(k);ll fenzi=1;ll two_n=powe_m(2,n);   //2^nfor(int i=1; i<k; i++){fenzi=fenzi*(two_n-i)%mod;  //A(2^n,k)if (two_n==i) break; // if  2^n%mod==i, fenzi=0;}ll two_gcd=powe_m(2,num);       //2^gcdfenzi=fenzi*powe_m(two_gcd,mod-2)%mod;ll fenmu=powe_m(two_n,k-1);fenmu=fenmu* powe_m(two_gcd,mod-2)%mod;fenzi=fenmu-fenzi;if (fenzi<0) fenzi=(fenzi%mod+mod)%mod;if (fenmu<0) fenmu=(fenmu%mod+mod)%mod;printf("%lld %lld\n",fenzi,fenmu);return 0;}

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