齐物论——数学信号篇

齐物论——庄周梦蝶
“昔者，庄周梦为蝴蝶，栩栩然蝴蝶也。自喻适志与，不知周也。俄然觉，则蘧蘧然周也。不知周之梦为蝴蝶与，蝴蝶之梦为周与？周与蝴蝶，则必有分矣。此之谓物化。”
庄周梦蝶，庄子与蝴蝶必有分别？庄子不这样觉得，庄子觉得周与蝴蝶的关系，是物化，是泯灭了蝴蝶与庄周的差别，泯灭了天下万事万物的区别，最终达到人与自然的和谐一体，近乎道，见本心。
我今日之学数学，亦如庄周梦蝶，亦谓之物化！

今日份干货：

1. ∫ 0 ∞ s i n ( a x ) x d x   = { π 2   a > 0 − π 2   a < 0 \int_0^\infty \frac{sin(ax)}{x}\mathrm{d}x\,= \begin{cases} \frac{\pi}{2}\,& a > 0 \\ -\frac{\pi}{2}\,& a < 0 \end{cases} ∫0∞xsin(ax)dx={2π−2πa>0a<0
证明：
信号的方法：
∫ 0 ∞ s i n ( a x ) x d x   = ∫ 0 ∞ s i n ( a x ) a x d ( a x )   = a ∫ 0 ∞ s i n ( a x ) a x d x   . \int_0^\infty \frac{sin(ax)}{x}\mathrm{d}x\,=\int_0^\infty \frac{sin(ax)}{ax}\mathrm{d}(ax)\,=a\int_0^\infty \frac{sin(ax)}{ax}\mathrm{d}x\,. ∫0∞xsin(ax)dx=∫0∞axsin(ax)d(ax)=a∫0∞axsin(ax)dx.
S a ( x ) = s i n ( x ) x   . Sa(x)=\frac{sin(x)}{x}\,. Sa(x)=xsin(x).
则原式 = a ∫ 0 ∞ S a ( a t ) d t   . 原式=a\int_0^\infty Sa(at)\mathrm{d}t\,. 原式=a∫0∞Sa(at)dt.
又门函数的的Fourier变换为
g ( t ) ↔ S a ( w 2 )   . g(t)\leftrightarrow Sa(\frac{w}{2})\,. g(t)↔Sa(2w).
其中 g ( t )   = { 1 , − 1 2 < t < 1 2 0 , t < − 1 2 或 t > 1 2 g(t)\,= \begin{cases} 1,& -\frac{1}{2}<t<\frac{1}{2} \\ 0,& t<-\frac{1}{2}或 t>\frac{1}{2} \end{cases} g(t)={1,0,−21<t<21t<−21或t>21
则其反变换为
S a ( t 2 ) ↔ 2 π g ( − w )   . Sa(\frac{t}{2})\leftrightarrow 2\pi g(-w)\,. Sa(2t)↔2πg(−w).
进一步有(门函数是偶函数)
S a ( a t ) ↔ π ∣ a ∣ g ( 2 w a )   . Sa(at)\leftrightarrow \frac{\pi}{|a|}g(\frac{2w}{a})\,. Sa(at)↔∣a∣πg(a2w).
原式 = a ∫ 0 ∞ S a ( a t ) e − j w t d t   ∣ w = 0 = a 2 ∫ − ∞ ∞ S a ( a t ) e − j w t d t   ∣ w = 0   = a 2 π ∣ a ∣ g ( 2 w a ) ∣ w = 0   = a 2 π ∣ a ∣ g ( 0 )   = a π 2 ∣ a ∣   . 原式=a\int_0^\infty Sa(at)e^{-jwt}\mathrm{d}t\,|_{w=0} =\frac{a}{2}\int_{-\infty}^\infty Sa(at)e^{-jwt}\mathrm{d}t\,|_{w=0}\,\\=\frac{a}{2}\frac{\pi}{|a|}g(\frac{2w}{a})|_{w=0}\,=\frac{a}{2}\frac{\pi}{|a|}g(0)\,=\frac{a\pi}{2|a|}\,. 原式=a∫0∞Sa(at)e−jwtdt∣w=0=2a∫−∞∞Sa(at)e−jwtdt∣w=0=2a∣a∣πg(a2w)∣w=0=2a∣a∣πg(0)=2∣a∣aπ.
即 ∫ 0 ∞ s i n ( a x ) x d x   = { π 2   a > 0 − π 2   a < 0 \int_0^\infty \frac{sin(ax)}{x}\mathrm{d}x\,= \begin{cases} \frac{\pi}{2}\,& a > 0 \\ -\frac{\pi}{2}\,& a <0 \end{cases} ∫0∞xsin(ax)dx={2π−2πa>0a<0

数学的方法将会在明天揭晓
（(。・∀・)ノ实际上是来不及写了，因为数学符号好难写）。

2.CSDN的数学符号：
所有的数学符号都要写在$$之间或者$$$$$之间\

积分号 ∫ \int ∫的LaTeX的符号是 \int

分式的表达 b a \frac{b}{a} ab的符号是 \frac{分子}{分母}

分段函数的表达 ∫ 0 ∞ s i n ( a x ) x d x   = { π 2   a > 0 − π 2   a < 0 \int_0^\infty \frac{sin(ax)}{x}\mathrm{d}x\,= \begin{cases} \frac{\pi}{2}\,& a > 0 \\ -\frac{\pi}{2}\,& a <0 \end{cases} ∫0∞xsin(ax)dx={2π−2πa>0a<0其格式较为复杂
具体有开始部分 \begin{cases}，结束部分 \end{cases}
而分段函数的内容写在这两段之间，其中条件与函数值之间用&连接，
不同段间\\连接

积分上下限 ∫ 0 ∞ \int_0^\infty ∫0∞，其中0是下限， ∞ \infty ∞是上限,下限是下标用_连接，上限是上标用^连接，该积分式代码 ∫ 0 ∞ \int_0^\infty ∫0∞如下： \int_0^\infty

3.Matlab解二元三次方程组
待解方程组：
( x − a 1 ) 2 + ( y − b 1 ) 2 + ( z − c 1 ) 2 = d 1 2 ( x − a 2 ) 2 + ( y − b 2 ) 2 + ( z − c 2 ) 2 = d 2 2 ( x − a 3 ) 2 + ( y − b 3 ) 2 + ( z − c 3 ) 2 = d 3 2 (x-a_1)^2+(y-b_1)^2+(z-c_1)^2=d_1^2\\ (x-a_2)^2+(y-b_2)^2+(z-c_2)^2=d_2^2\\ (x-a_3)^2+(y-b_3)^2+(z-c_3)^2=d_3^2\\ (x−a1)2+(y−b1)2+(z−c1)2=d12(x−a2)2+(y−b2)2+(z−c2)2=d22(x−a3)2+(y−b3)2+(z−c3)2=d32
附Matlab源代码：

//
syms x y z a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 d3 ;
eqns=[
(x-a1)^2 +(y-b1)^2 +(z-c1)^2 -((x-a2)^2 +(y-b2)^2 +(z-c2)^2) ==d1^2- d2^2,
(x-a2)^2 +(y-b2)^2 +(z-c2)^2 -((x-a3)^2 +(y-b3)^2 +(z-c3)^2) ==d2^2- d3^2,
(x-a3)^2+ (y-b3)^2 +(z-c3)^2 -((x-a1)^2 +(y-b1)^2 +(z-c1)^2) ==d3^2- d1^2
];
[A,b] = equationsToMatrix(eqns,vars);
solutions1=b\A;
solutions2=inv(A)*b;

//
然而存在det（A）=0的问题，不知该如何解决呀！

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