文章目录

搜索结构
B树
- B树的插入
- B树的遍历
- B树的性能
B+树
- B+树的插入
- B+树的遍历
B*树
- B*树的插入
总结

搜索结构

如果我们有大量的数据需要永久存储，就需要存储到硬盘之中。
但是硬盘的访问速度远远小于内存，并且由于数据量过大，无法一次性加载到内存中。

此时，就可以考虑将数据存储在硬盘中，而数据的地址则加载到内存中，通过某种搜索结构进行存储，使用时只需要通过该结构查找到地址，在通过地址去找到对应的数据即可。

常用的几种搜索结构：二叉搜索树、AVL树、红黑树、哈希、位图、布隆过滤器。

考虑到查找性能以及内存消耗，其中适合这种场景的只有平衡二叉搜索树（AVL、红黑树）。

但即使平衡二叉搜索树的搜索性能能达到 O(log₂N)，由于数据量过于庞大，例如存储了 10亿个数，则可能最多需要查找 30次。这个数字看起来不是很多，因为之前我们比较的是内存的速度，即使是 10亿个数 也能一瞬间查找完。但是对于硬盘来说，由于硬盘的速率低，每一次 IO 都意味这大量的损耗，所以这种方法也不太合适。

如果想要提高查找的效率，那么唯一的方法就是压缩树的高度，而压缩的方法，就是将二叉树变为 M叉树，也就是使用到 M路平衡搜索树——B树。

B树

B树 即一棵平衡的 M路平衡搜索树（M > 2），可以是空树或者满足以下性质：

根节点至少有 2 个孩子、最多有 M 个孩子；
除根结点外的非叶节点有 i 个孩子， M/2(上取整) <= i <= M；
每个非叶节点有 j 个关键字， M/2-1(上取整) <= j <= M-1 ，并且以升序排列；
key[i] 和 key[i+1] 之间的孩子节点的值介于 key[i]、key[i+1] 之间；
所有的叶子节点都在同一层。

对照一棵 M=3 的 B树 来理解：

节点实现

template<class K, int M = 3>
struct BTreeNode
{K _keys[M]; // 存放元素BTreeNode<K, M>* _pSub[M+1]; // 存放孩子节点，注意：孩子比数据多一个BTreeNode<K, M>* _pParent; // 在分裂节点后可能需要继续向上插入，为实现简单增加parent域size_t _size; // 节点中有效元素的个数BTreeNode(): _pParent(NULL), _size(0){for(size_t i = 0; i <= M; ++i)_pSub[i] = NULL;}
};

B树的插入

下面拿一个 M=3 的 三叉B树 来举例子。（PS：三叉树即每个节点至多 3 个孩子，2 个 key，key 的数量永远比孩子少一个）

假设使用以下数据构建B树 {63, 131, 85, 39, 148, 31, 111}（B树从叶子节点的位置进行插入）：

首先依次插入前三个节点，当插入到第三个时，由于三叉树的 key 只能有 2 个，所以此时会采取分裂的方法来维持树的平衡。

B树分裂的规则是：创建一个兄弟节点，拷贝右半区间的数据到兄弟节点，左半区间保留，中位数放到父亲节点（如果没有则创建新的根节点）。

B树 与 AVL 的旋转、红黑树的旋转+变色不一样，它使用了分裂的方法来维持树的平衡，这样的好处是既能做到平衡，也保证了非根节点至少有一半的空间利用率。

所以此时按照上面的规则进行分裂：

接着插入 39，148 ：

然后插入 31，开始分裂：

接着插入111，此时再次发生分裂：

此时可以看到，叶子节点已经分裂成了 4 个，并且根节点的 key 也达到了 3 个，不符合 B树 的性质：每个根节点最多有 M 个孩子、M - 1 个key，因此继续分裂：

此时，树重新平衡。从上面可以看出来，本质上B树的设计还是参考了二叉搜索树。

B树的遍历

B树的有序遍历还是通过中序遍历来完成，不过需要通过队列或者递归遍历完这个节点的所有的key。

void _InOrder(PNode pRoot)
{if(NULL == pRoot)return;for(size_t i = 0; i < pRoot->_size; ++i){_InOrder(pRoot->_pSub[i]);cout << pRoot->_keys[i] << " ";}_InOrder(pRoot->_pSub[pRoot->_size]);
}

B树的性能

作为一个M路平衡搜索树，B树的搜索性能达到了 log⁡M+1N\log_{M+1}NlogM+1N ~ log⁡M/2N\log_{M/2}NlogM/2N 之间，查找到指定关键字的方法是：

在根结点所包含的关键字 K1、…、Kn 查找给定的关键字（可用顺序查找或二分查找法），若找到等于给定值的关键字，则查找成功；
否则，一定可以确定要查找的关键字在 Ki 与 Ki+1之间，Pi 为指向子树根节点的指针，此时取指针 Pi 所指的结点继续查找，直至找到，或指针 Pi 为空 时查找失败。

比起二叉平衡搜索树，速度快了一大截，并且大大的减少了硬盘 IO 的次数，所以在文件系统以及数据库索引等方面使用的都是这种数据结构。

B+树

B+树是B树的变形，主要性质如下：

其定义基本与B树相同
非叶子节点的孩子与 key 个数相同（简化规则）
非叶子节点由叶子节点的最小值构成（充当索引，所以不可能在非叶子节点命中）
所有数据都出现在叶子节点，并且所有叶子节点都链接起来，同时是有序的。（方便遍历）

B+树的插入

这里为了方便，使用 三阶B+树 举例子，这里还是使用同样的数据。{63, 131, 85, 39, 148, 31, 111}

首先插入 63，并把 63 作为父节点的索引:

接着插入 131，85 :

当插入 39 时，发生分裂，分裂规则与之前略有区别。

B+树的分裂规则：因为此时父节点存储的是索引，所以此时只会将左半部分数据保留，右半部分数据放入新建的兄弟节点，并且会向上更新父节点的索引。

当插入 111 时，发生分裂：

B+树的遍历

从上面可以看出来，B+树的主要特点其实就是更方便进行遍历，因为其将所有数据存储在叶子节点，所有非叶子节点就相当于一个索引。其所有叶子节点连接起来，像遍历链表一样遍历B+树。这样的结构使得B+树的查找相当于对关键字全集做一次二分查找。

所以通常文件的索引系统都会采用B+树的结构。

B*树

B*树则又是对B+树的变形，其性质如下：

其定义基本与B+树相同
将非叶子节点也连接起来
分裂方式再次修改，保证每个节点中 key 的数量 [2/3 * M，M]（提高空间利用率，从1/2提升到了2/3）

B*树的插入

B*树再次修改了插入规则，规则修改为：

如果当前节点数据已满而兄弟节点未满，则将数据放入兄弟节点，而当两个节点都满了之后再进行分裂；
分裂时，在原节点与兄弟节点之间创建新节点，从两个节点分别取出 1/3 的数据放入新创建的结点。

还是原来那些数据 {63, 131, 85, 39, 148, 31, 111} :

接下来插入 39：

插入 148、31：

此时插入111，发生分裂，从两边各取走 1/3 的数据：

从上面可以看出，B*树的最大改进就是将B+树的空间利用率从1/2提升到了2/3，并且对非叶子节点也进行了连接，查找更加便利。

总结

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