题目描述

Description
Kevin是一个热爱字符串的小孩。有一天，他把自己的微信登录密码给忘记了，万般无奈之下只好点“找回密码”。
这时候，网页上出现了当初设定的密保问题：在字符串st中，有若干个内容不同的子串，请问其中字典序第k小的子串是什么？
很可惜的是，Kevin现在已经不会写程序了，所以，他找到了睿智的你来帮忙。

Input
输入数据包括两行：第一行为字符串st，第二行为正整数k，定义如题目描述。
其中字符串st的长度不超过100,000且只由大小写英文字母组成
Output
一行，为第k小的字符串，如果字符串st中不足k个不同的子串，则输出字典序最大的一个。

Sample Input
AAB
2
Sample Output
AA

Data Constraint
50%的数据，|st| <=1000
100%的数据，|st|<=100,000，K < 2^63

50%

暴力枚举每个串，放在一起排序去重

100%

显然，这样做会发现有很多重复的串
所以需要一种算法来不重复记下一个串所有的子串
于是便有了后缀自动机SAM (Suffix Automaton)

SAM

（本题的正确代码在最下面）
~~假的SAM就留作反面教材~~

SAM实质上就是用O(n)O(n)O(n)级别的时间/空间来记录下一个串所有的子串(共n2n2n^2个)

最简单的方法当然是存下一个串所有的后缀，然后每个后缀的前缀就是一个子串。
那么直接把它放在一个trie里就可以做到不重复

例如：aabbabd

但是这样做的话节点数太多了，有n2n2n^2个
所以这就是SAM的精髓所在——合并状态。

合并状态

仔细观察发现，有不少子串在原串出现的结尾位置集合相同，那么可以把这些串缩成一个点
然后从起点到这个点的任何一条路径所代表的都是这些子串

就以aabba为例

如图，4号节点所代表的子串就是aabb、abb和bb。
而它们在原串的结尾位置集合也一样，都是{4}
同理，4号节点不能代表子串a和b，因为它们的集合是{1,2,5}和{3,4}

把具有相同集合的子串合并起来，就是SAM的关键所在。
如果一些子串的集合相同，那么其中的一些（个）必定是另一些（个）的后缀
意会

fail指针（图上的蓝色边）

实际就是网上所说的parent树，但实质跟其它自动机的定义差不多。

fail[x]表示
x的集合∈fail[x]的集合且|fail[x]的集合|最小
比如上图4节点的集合是{4}，而fail[4]=5(b)的集合是{3,4}

简单来讲，就是fail[x]代表的节点都是x代表的节点的后缀
（学过AC和回文自动机的话这里应该很好理解）

至于为什么要搞fail，大概是在新建节点时，让每一个能接的上子串都接上

len数组（图上的红色数字）

就是从起点到每个点的最长串长度
很好求，每次新建节点时+1

用处先猜

next数组（图上的黑色边）

next[x][y]表示节点x接上y后所代表的状态（编号）

（实际上跟其它自动机差不多，只不过SAM一个点代表了多个串）

建自动机

按顺序，依次加上新节点。

每次先在len最长的节点加上一个点x（因为没有能代表新串的节点，所以要新建），
之后顺着fail链往上跳。
设加上的字符为y，当前节点为now

那么可以分几种情况：

①next[now][y]=0

既然所属节点没有y的转移，那么可以直接接上
即next[now][y]=x

②next[now][y]≠0

设z=next[mow][y]

先列出来，等下再解释

1、len[z]=len[now]+1

那么直接把fail[x]设为z

2、len[z]>len[now]+1

把z克隆一遍，再把now及其祖先所以指向z的next边都指向新节点，
新节点继承 z的fail和next边
z和x的fail指向新节点

原因

如果next[now][y]≠0，那么也就是说可能可以直接接上去。
因为now是x的后缀，now+y 可能是x的后缀

但直接接上可能会出现这样的情况：

看图，节点4的串是aabb abb bb，节点3的串是aab ab b
显然bb不是aab的后缀。

原因是因为S->3之间还有1和2两个节点，尽管S是3的前缀，但是因为中间有1和2，导致S+b 不能和3+b共享后缀
所以必须要单独开一个代表S+b的节点，这样才能把后缀接上去

如图，因为S+b到的3不是4的后缀，所以必须单独把S+b提出来
而新的节点继承了老节点的所有信息，所以从起点到现在的5就相当于到3了
So可以把所有 now的祖先所指向z的点都指向新节点

至于为什么跳fail就能把所有的边都改过来，原因如下：

如果两个点a和b都有一条连向z的边，那么显然a+y和b+y出现的集合相同。
那么a和b中其中一个必然是另一个的后缀（或ab的集合也相同）
所以顺着fail链往上跳就行了。

如果now和z只有一字之差（即len[z]=len[now]+1），那就可以直接接上去
因为next[x]能接上去的点都不同
意会

（2018年5月5日添加）
~~重新看了一遍自己写的东西发现差点看不懂~~
因为next[x]接上去的点不同，所以now和z之间一定只有一条边
其实可以手推一下，可以发现如果新加一个节点，那么这个节点一定跟原节点一模一样
所以没有必要新加节点

（2018年7月13日添加）
发现自己又写了假的SAM。。。
计算次数应该先加在last上，最后按照len排序，从儿子加到父亲
复制节点时不用复制出现次数，因为最后可以顺着fail加上去

过程

~~看这里~~
https://www.cnblogs.com/oyking/archive/2013/08/02/3232872.html

例题

题目描述

洛谷P3804 【模板】后缀自动机
题目描述
给定一个只包含小写字母的字符串S，
请你求出S 的所有出现次数不为 1的子串的出现次数乘上该子串长度的最大值。
输入输出格式
输入格式：

一行一个仅包含小写字母的字符串
S

输出格式：

一个整数，为所求答案

输入样例
abab
输出样例
4

题解

裸题，每次顺着后缀往上累加。

伪·code

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define max(a,b) (a>b?a:b)
using namespace std;int next[2000010][26];
int sum[2000010];
int fail[2000010];
int mx[2000010];
int i,j,k,l,Len,len,last,ans,I,J,K,L;
char s[1000010];
int d[1000010];void New(int x,int y)
{next[x][y]=++len;mx[len]=mx[x]+1;
}int main()
{len=1,last=1;mx[1]=0;sum[1]=1;fail[1]=0;scanf("%s",s);Len=strlen(s)-1;fo(i,0,Len){New(last,s[i]-'a');K=last;last=next[last][s[i]-'a'];for (j=fail[K]; j; j=fail[j])if (!next[j][s[i]-'a'])next[j][s[i]-'a']=last;else{if ((mx[j]+1)==mx[next[j][s[i]-'a']])fail[last]=next[j][s[i]-'a'];else{k=next[j][s[i]-'a'];New(j,s[i]-'a');sum[len]=sum[k];fo(l,0,25)next[len][l]=next[k][l];fail[len]=fail[k];fail[last]=len,fail[k]=len;for (l=j; l; l=fail[l]){if (next[l][s[i]-'a']==k)next[l][s[i]-'a']=len;}}break;}if (!j)fail[last]=1;for (j=last; j; sum[j]++,j=fail[j]);}ans=0;fo(i,2,len)if (sum[i]>1)ans=max(ans,mx[i]*sum[i]);printf("%d\n",ans);
}

例题*2

题目描述

Sample Input
AAB
2
Sample Output
AA

Data Constraint
50%的数据，|st| <=1000
100%的数据，|st|<=100,000，K < 2^63

题解

没错就是一开始的题目(滑稽)
建出自动机后统计从每个点开始走能构成的字符串总数（dfs一遍），
之后直接找就行了

~~实际90分才是正解~~

code

//jzoj4025 Sam
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define max(a,b) (a>b?a:b)
using namespace std;int next[200010][52];
int fail[200010];
int mx[200010];
int i,j,k,l,Len,len,last,ans,I,J,K,L;
long long sum;
long long f[200010];
char s[100010];
int ls[200010];int d[200010];
bool bz[200010];int turn(char ch)
{if (ch<'[')return ch-65;elsereturn ch-71;
}int Turn(int s)
{if (s<26)return s+65;elsereturn s+71;
}void New(int x,int y)
{next[x][y]=++len;mx[len]=mx[x]+1;
}void find()
{int i,t;t=1;while (sum){if (!ls[t] && !next[t][0])return;fo(i,0,ls[t])if (next[t][i]){if ((f[next[t][i]]+1)>=sum || i==ls[t]){printf("%c",Turn(i));sum--;if (sum)t=next[t][i];break;}elsesum-=f[next[t][i]]+1;}}
}void init()
{int h,t,i,j;h=0,t=1;d[1]=1;bz[1]=1;while (h<t){h++;fo(i,0,51)if (next[d[h]][i] && !bz[next[d[h]][i]]){bz[next[d[h]][i]]=1;d[++t]=next[d[h]][i];}}fd(j,t,1){fo(i,0,51)if (next[d[j]][i]){ls[d[j]]=i;f[d[j]]+=1+f[next[d[j]][i]];}}
}int main()
{len=1,last=1;mx[1]=0;fail[1]=0;scanf("%s",s);Len=strlen(s)-1;fo(i,0,Len){New(last,turn(s[i]));K=last;last=next[last][turn(s[i])];for (j=fail[K]; j; j=fail[j])if (!next[j][turn(s[i])])next[j][turn(s[i])]=last;else{if ((mx[j]+1)==mx[next[j][turn(s[i])]])fail[last]=next[j][turn(s[i])];else{k=next[j][turn(s[i])];New(j,turn(s[i]));fo(l,0,51)next[len][l]=next[k][l];fail[len]=fail[k];fail[last]=len,fail[k]=len;for (l=j; l; l=fail[l]){if (next[l][turn(s[i])]==k)next[l][turn(s[i])]=len;}}break;}if (!j)fail[last]=1;}init();scanf("%lld",&sum);find();printf("\n");
}

后记

感觉SAM不是很难啊。。。
~~然而调了3天~~

参考资料

https://blog.csdn.net/qq_36551189/article/details/79764070
https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52245413
https://blog.csdn.net/YxuanwKeith/article/details/51019000
https://blog.csdn.net/wangzhen_yu/article/details/45481269
https://www.cnblogs.com/oyking/archive/2013/08/02/3232872.html

真·code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define max(a,b) (a>b?a:b)
using namespace std;int next[2000010][26];
int sum[2000010];
int fail[2000010];
int mx[2000010];
char s[1000010];
int d[1000010];
int b[2000010];
int i,j,k,l,Len,len,last,ans,I,J,K,L;void New(int x,int y)
{next[x][y]=++len;mx[len]=mx[x]+1;
}void swap(int &a,int &b) {int c=a;a=b;b=c;}void qsort(int l,int r)
{int i,j,mid;i=l;j=r;mid=mx[b[(l+r)/2]];while (i<=j){while (mx[b[i]]>mid) i++;while (mx[b[j]]<mid) j--;if (i<=j){swap(b[i],b[j]);i++,j--;}}if (l<j) qsort(l,j);if (i<r) qsort(i,r);return;
}int main()
{len=1,last=1;mx[1]=0;sum[1]=1;fail[1]=0;scanf("%s",s);Len=strlen(s)-1;fo(i,0,Len){New(last,s[i]-'a');K=last;last=next[last][s[i]-'a'];for (j=fail[K]; j; j=fail[j])if (!next[j][s[i]-'a'])next[j][s[i]-'a']=last;else{if ((mx[j]+1)==mx[next[j][s[i]-'a']])fail[last]=next[j][s[i]-'a'];else{k=next[j][s[i]-'a'];New(j,s[i]-'a');//这里不用复制sumfo(l,0,25)next[len][l]=next[k][l];fail[len]=fail[k];fail[last]=len,fail[k]=len;for (l=j; l; l=fail[l]){if (next[l][s[i]-'a']==k)next[l][s[i]-'a']=len;}}break;}if (!j)fail[last]=1;sum[last]++;//先加在最后的节点上}fo(i,1,len)b[i]=i;qsort(1,len);fo(i,1,len)sum[fail[b[i]]]+=sum[b[i]];//最后再累加sumans=0;fo(i,2,len)if (sum[i]>1)ans=max(ans,mx[i]*sum[i]);printf("%d\n",ans);
}

JZOJ4025. 【佛山市选2015】找回密码（后缀自动机SAM）相关推荐

洛谷P3975【天津省选2015】（后缀自动机DP）
题目链接 https://www.luogu.com.cn/problem/P3975 题解此题非常经典且重要,是sam的函谷关,必须拿下. 记录每个点endpos大小的方法是在parent树从下往 ...
后缀自动机（SAM）讲解 + Luogu p3804【模板】后缀自动机 (SAM)
本文求节点子串长度最小值有点问题,现已修改. SAM 后缀自动机可以存储某一个字符串的所有子串. 一.概念下图是一个字符串 "aababa" 的后缀自动机. 上图中的黑色边 ...
后缀自动机SAM详解
用一个DFA来识别一个串(比如aabab)的所有后缀,要怎么做呢最简单的办法,把所有后缀看作要保存的单词,画一棵 trie树,像这样: 点很多很麻烦复杂度也很高我们给这个DFA按我们的需求合并化简 ...
多校冲刺NOIP模拟6 - 游戏——矩阵乘法、后缀自动机SAM
此题不提供链接题目描述前言好久没用SAM了.我记得上次用SAM做题还是在上次. 题解每一种长度的总方案是确定的,所以我们只需要求出赢的方案数.平局方案数即可. 做法其实和官方正解区别不大,官方 ...
[hdu4416 Good Article Good sentence]后缀自动机SAM
题意:给出串A和串集合B={B1,B2,...,Bn},求串A的所有不同子串中不是B中任一串的子串的数目. 思路:把A和B中所有字符串依次拼接在一起,然后构造后缀自动机,计算每个状态的R集合元素的最大 ...
省选专练之后缀自动机SPOJ1811LCS - Longest Common Substring
陈老师引入SAM的例题求两个串的LCS 直接建一个串的SAM,并且把另外一个串放进去跳. 这个方法很经典! 几乎满足了所有两个串的公共串问题的所有解法有巨子说这个跳是均摊Log的,我也不知道QwQ ...
jzoj4024 [佛山市选2015]石子游戏
Description Alice 和 Bob 总喜欢聚在一起玩游戏(T_T),今天他(她)们玩的是一款新型的取石子游戏.游戏一开始有N堆石子,Alice 和 Bob 轮流取出石子.在每次操作中,游戏 ...
P3804 【模板】后缀自动机 (SAM)
传送门文章目录题意: 思路: 题意: 给你一个字符串sss,让你求sss中出现次数不为111的子串出现次数乘上该字串长度最大值. ∣s∣≤1e6|s|\le 1e6∣s∣≤1e6 思路: 没学明白 ...
【牛客 - 551C】CSL 的密码（后缀数组，后缀自动机，随机算法）
题干: 链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/551/C 来源:牛客网为了改变这一点,他决定重新设定一个密码.于是他随机生成了一个很长很长的字符串,并打算选择 ...

JZOJ4025. 【佛山市选2015】找回密码（后缀自动机SAM）

题目描述

50%

100%

SAM

合并状态

fail指针（图上的蓝色边）

len数组（图上的红色数字）

next数组（图上的黑色边）

建自动机

①next[now][y]=0

②next[now][y]≠0

1、len[z]=len[now]+1

2、len[z]>len[now]+1

原因

过程

例题

题目描述

题解

伪·code

例题*2

题目描述

题解

code

后记

参考资料

真·code

JZOJ4025. 【佛山市选2015】找回密码（后缀自动机SAM）相关推荐

最新文章

热门文章