我们知道在以太网帧的末尾有一个叫FCS的东西。
全称：Frame Check Sequence，中文名：帧检验序列
这个东西是用来检验我们的数据是否在传输的过程中被破坏（不一定是收到攻击，也可能是一些物理干扰），以更好的安排重发。
而其中最常用的，也是检错能力很强的，就是CRC，循环冗余校验码。

操作流程

一个小背景知识

模二除法，或者说在数域{1，0}上的除法。
与普通除法类似，它也可以列竖式计算，但是唯一不同的，是相减的那一步。
我们这里的除法，在相减时，遵循一下规则：

1-1=0
1-0=1
0-1=1
0-0=0
不进位，也不借位

举个例子。

我相信应该很清楚了。（手画的，不容易）

生成

首先，我们需要一个除数，这个除数可以按照某个行业标准来，比如：

IBM的SDLC（同步数据链路控制）规程中使用的CRC-16为：11000000000000101，在ISO HDLC（高级数据链路控制）规程、ITU的SDLC、X.25、V.34、V.41、V.42等中使用CCITT-16为：11000000000100001。

当然这里做个实验，我们也可以随机生成，但是有一点要求，最高位和最低为必须为1，这一点需要注意。

接下来，我们把数据左移（k-1）位，补零，这就是我们的被除数。
然后用这个被除数和除数做模二除法得到余数。
这个余数（k-1位，不足的话，左侧补零），就是加在数据末尾的FCS。
然后我们把它加在数据末尾即可。

校验

那么我们如何校验呢？
直接把我们得到的串（包含FCS），对除数再做一次模二除法，如果余数是零，则说明数据完好。如果不为0，则说明数据遭到破坏，需要安排重发。

代码实现

相信看了上面的内容，应该很容易实现代码，下面给出我写的代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
struct bin{//二进制数据 int num[100000];int len;void init(){//初始化为0 len=1;memset(num,0,sizeof(num));}void read(){//读入数字 char c[100000];scanf("%s",c);len=strlen(c);for(int i=0;i<len;i++){num[i]=c[len-i-1]-'0';}}void clean(){//清除前导0 for(int i=99999;i>=0;i--){if(num[i]==1){len=i+1;return;}}len=1;}void gen(int k){//随机生成 len=k;num[len-1]=num[0]=1;for(int i=1;i<len-1;i++){num[i]=rand()%2;}}bin operator =(bin b){//赋值符号 len=b.len;for(int i=0;i<len;i++){num[i]=b.num[i];}return *this;}bin operator +(bin b){//加法 bin c;c.init();c.len=max(b.len,len);for(int i=0;i<c.len;i++){c.num[i]=num[i]+b.num[i];}return c;}bin operator <<=(int b){//左移 for(int i=len-1;i>=0;i--){num[i+b]=num[i];num[i]=0;}len+=b;return *this;}bin operator /(bin b){//除法取余数（返回值为余数） bin c;c.init();c=*this;for(int i=c.len-1;i>=0&&i>=(b.len-1);i--){if(!c.num[i]){continue;}for(int j=i;j>i-b.len;j--){c.num[j]-=b.num[j-i+b.len-1];if(c.num[j]<0){c.num[j]=1;}}}c.clean();return c;}int operator ==(bin b){//等于号 if(b.len!=len){return 0;}for(int i=0;i<len;i++){if(num[i]!=b.num[i]){return 0;}}return 1;}void print(){//打印 for(int i=len-1;i>=0;i--){printf("%d",num[i]);}printf("\n");}
};
int main(){//设定k值 int k=5;srand(time(0));//定义各种量 bin text,key,div,txt,zero;//初始化 div.init();key.init();txt.init();zero.init();text.init();//生成 text.read();//读入数据 key.gen(5);//生成除数 txt=text; txt<<=(k-1);//数据左移 div=txt/key;//取余数 （FCS） txt=txt+div;// 合成 //模拟破坏
//  txt.num[txt.len/2]^=1;//校验txt=txt/key;if(txt==zero){printf("The data are OK!");} else{printf("The data are fault!");}return 0;
}

还可以完善的，我就不进一步完善了。

一些数学原理

之前有说数学背景，但是那只是为了能理解其过程，但并不能让我们明白为什么是这样。
所以这里扩展了一块内容，根据兴趣阅读一下吧！

生成多项式

不知道怎么说，就举例说明吧。
如

其对应的除数分别为：

11000000000000101
10001000000100001
100000100110000010001110110110111

我相信你应该明白了。

为什么余数为0

我们刚刚介绍了模二除法。
这里我们再说一个模二加法。

1+1=0
1+0=1
0+0=0
不进位

为什么是这样定义？
因为模二。
所以你只要让结果对2取模，你就知道为什么会这样了。
我们设原数据左移后为t，除数为a，商为s，余数为r。
所以有：t=as+r
而我们传递的是t+r
即t+r=as+r+r
有什么问题？
我们看一下r+r
注意这里是模二加法，不进位，且1+1=0+0=0，
而r和r是一样的，所以模二相加后，就是0！
所以式子变为：t+r=a*s
这样的话(t+r)模二除以a，自然余数为0。
这就是为什么我们可以这么做。

校验成功一定没错吗？

不一定！
有可能会出现某几位错了，但是判断结果是对的。
那么概率是多少呢？
假设FCS为32位（4字节）
数据我们取为8000位（1000字节，此处数据大小取了一个中值，以太网帧中的数据通常为46~1500字节）（当然了，其实从后面的结果可以知道此处并无影响）
8000位数据，最大为8000个1，最小为1（7999个0）。
进行二进制除法，商最大为7969位，总共有2⁷⁹⁶⁹个可能的商。
总共可能破坏的结果为2⁸⁰⁰⁰.
所以误判的概率为P=(2⁷⁹⁶⁹-1)/2⁸⁰⁰⁰
也就约为1/2³¹，即1/2,147,483,648
这概率是多大呢？
差不多是生一个六胞胎的概率吧。
想一想，你身边有几个六胞胎？你听过几个六胞胎？
因此，其检错能力是很强的。重点是算法也很简单，方便实际应用。

结束语

这就是今天对CRC的探究，喜欢的话点一个赞呗！
有什么问题也欢迎与我讨论！

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