算法-贝尔曼-福特算法

注：该文是本博主记录学习之用，没有太多详细的讲解，敬请谅解！

一、简介

贝尔曼-福特算法(Bellman–Ford algorithm )用于计算出起点到各个节点的最短距离，支持存在负权重的情况

它的原理是对图进行最多V-1次松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于狄克斯特拉算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高，高达O(VE)。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。
贝尔曼-福特算法每次对所有的边进行松弛，每次松弛都会得到一条最短路径，所以总共需要要做的松弛操作是V - 1次。在完成这么多次松弛后如果还是可以松弛的话，那么就意味着，其中包含负环。

二、场景

从起点出发是否存在到达各个节点的路径。
从起点出发到达各个节点最短路径。
是否存在负环路。

三、实现思路

初始化时将起点s到各个顶点v的距离dist(s->v)赋值为∞，dist(s->s)赋值为0
后续进行最多n-1次遍历操作，对所有的边进行松弛操作,假设:

所谓的松弛，以边ab为例，若dist(a)代表起点s到达a点所需要花费的总数，
dist(b)代表起点s到达b点所需要花费的总数,weight(ab)代表边ab的权重，若存在:

(dist(a) +weight(ab)) < dist(b)

则说明存在到b的更短的路径,s->…->a->b,更新b点的总花费为(dist(a) +weight(ab))，父节点为a
遍历都结束后，若再进行一次遍历，还能得到s到某些节点更短的路径的话，则说明存在负环路

四、java实现

如下图，求出A到各节点的最短路径

public class BellmanFord {/*** 实现思路：* 1、初始化时将起点起点到各个顶点的距离赋值为（无穷大）∞,当前起点距离赋值为0* 2、后续进行最多n-1次遍历操作* @param args*/public static void main(String[] args){//创建图Edge ab = new Edge("A", "B", -1);Edge ac = new Edge("A", "C", 4);Edge bc = new Edge("B", "C", 3);Edge be = new Edge("B", "E", 2);Edge ed = new Edge("E", "D", -3);Edge dc = new Edge("D", "C", 5);Edge bd = new Edge("B", "D", 2);Edge db = new Edge("D", "B", 1);//需要按图中的步骤步数顺序建立数组，否则就是另外一幅图了，//从起点A出发，步骤少的排前面Edge[] edges = new Edge[] {ab,ac,bc,be,bd,ed,dc,db};//存放到各个节点所需要消耗的时间HashMap<String,Integer> costMap = new HashMap<String,Integer>();//到各个节点对应的父节点HashMap<String,String> parentMap = new HashMap<String,String>();//初始化各个节点所消费的，当然也可以再遍历的时候判断下是否为Null//i=0的时候costMap.put("A", 0); //源点costMap.put("B", Integer.MAX_VALUE);costMap.put("C", Integer.MAX_VALUE);costMap.put("D", Integer.MAX_VALUE);costMap.put("E", Integer.MAX_VALUE);//进行节点数n-1次循环for(int i =1; i< costMap.size();i++) {boolean hasChange = false;for(int j =0; j< edges.length;j++) {Edge edge = edges[j];//该边起点目前总的路径大小int startPointCost = costMap.get(edge.getStartPoint()) == null ? 0:costMap.get(edge.getStartPoint());//该边终点目前总的路径大小int endPointCost = costMap.get(edge.getEndPoint()) == null ? Integer.MAX_VALUE : costMap.get(edge.getEndPoint());//如果该边终点目前的路径大小 > 该边起点的路径大小 + 该边权重 ，说明有更短的路径了if(endPointCost > (startPointCost + edge.getWeight())) {costMap.put(edge.getEndPoint(), startPointCost + edge.getWeight());parentMap.put(edge.getEndPoint(), edge.getStartPoint());hasChange = true;}}if (!hasChange) {//经常还没达到最大遍历次数便已经求出解了，此时可以优化为提前退出循环break;}}//在进行一次判断是否存在负环路boolean hasRing = false;for(int j =0; j< edges.length;j++) {Edge edge = edges[j];int startPointCost = costMap.get(edge.getStartPoint()) == null ? 0:costMap.get(edge.getStartPoint());int endPointCost = costMap.get(edge.getEndPoint()) == null ? Integer.MAX_VALUE : costMap.get(edge.getEndPoint());if(endPointCost > (startPointCost + edge.getWeight())) {System.out.print("\n图中存在负环路，无法求解\n");hasRing = true;break;}}if(!hasRing) {//打印出到各个节点的最短路径for(String key : costMap.keySet()) {System.out.print("\n到目标节点"+key+"最低耗费:"+costMap.get(key));if(parentMap.containsKey(key)) {List<String> pathList = new ArrayList<String>();String parentKey = parentMap.get(key);while (parentKey!=null) {pathList.add(0, parentKey);parentKey = parentMap.get(parentKey);}pathList.add(key);String path="";for(String k:pathList) {path = path.equals("") ? path : path + " --> ";path = path +  k ;}System.out.print("，路线为"+path);}}}}/***  代表"一条边"的信息对象** @author Administrator**/static class Edge{//起点idprivate String startPoint;//结束点idprivate String endPoint;//该边的权重private int weight;public Edge(String startPoint,String endPoint,int weight) {this.startPoint = startPoint;this.endPoint = endPoint;this.weight = weight;}public String getStartPoint() {return startPoint;}public String getEndPoint() {return endPoint;}public int getWeight() {return weight;}}}

五、小结

1、贝尔曼-福特算法Bellman–Ford主要用于存在负权重的方向图中(没有负权重也可以用，但是效率比狄克斯特拉算法低很多)，搜索出源点到各个节点的最短路径

2、Bellman–Ford可以判断出图是否存在负环路，但存在负环路的情况下不支持计算出各个节点的最短路径。只需要在结束(节点数目-1)次遍历后，再执行一次遍历，若还可以更新数据则说明存在负环路

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