算法-狄杰斯特拉-Dijkstra Algorithm

自己画图真的是一件很累的事情，麻烦大家互相学习引用的同时注明出处，互相学习，不胜感激。

一、最短图路径算法

1、Dijkstra Algorithm

是一个贪心算法
解决的是带权重的有向图上单源最短路径问题，并且所有权值非负
基本思想：从源点出发，每次选择离源点最近的一个顶点前进，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径

2、Floyd-Warshall Algorithm：动态规划算法

任意两点之间的最短路径，这称为多源最短路径问题

二、Pseudocode

DIJKSTRA(G,w,s)

1. INITIALIZE_SINGLE_SOURCE(G,s)
2. S=∅
3. Q=G.V
4. while Q≠∅
5.     u=EXTRACT_MIN(Q)
6.     S=S∪{u}
7.     for each vertex v∈G.Adj[u]
8.         RELAX(u,v,w)

S：已访问过节点集合
Q：保存节点集合(最小优先队列)
u：最小的节点     RELAX(u,v,w)：松弛操作

三、推导

简要分为8步，来进行分析和推导

1、初始化

2、找到第一个点A，遍历他，此时，由于A和其他点之间的距离位置，均初始化为∞

3、第一个点A已访问完成，找到他可到达的节点为B和C，此时，B和C节点的具体分别为6和3，均比∞小，故修改到A的最短距离。

4、由于和A相连的点有B和C，此时，按照伪代码第5步来说，需要找到最小的点，接着遍历，故开始遍历C点。与C点相连的点有B、D、E，故此时基于已有的A-C的距离为3的基础，开始计算距离，分别为5、6、7

5、同理可得，取最小的点，开始遍历B，计算与其相关的点的距离。

6、遍历D

7、遍历E

8、至此，到了F点后，所有的点遍历完成。路径如下表所示，一目了然。

四：总结

时间复杂度：

设图的边数为E，顶点数为V

依赖于最小优先队列的实现数据结构
通过节点1～|V|数组，第V个的值存在第V个位置：O( V^{2} + E) =O(V^{2})
使用斐波那契堆 O(Vlg{V} + E) = O( Vlg{V} )
缺陷：当所搜索的图存在非负值时，
导致u—>v之间存在一条负权回路

[参考资料]

算法导论第三版

写在最后

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2、找到第一个点A，遍历他，此时，由于A和其他点之间的距离位置，均初始化为∞

3、第一个点A已访问完成，找到他可到达的节点为B和C，此时，B和C节点的具体分别为6和3，均比∞小，故修改到A的最短距离。

4、由于和A相连的点有B和C，此时，按照伪代码第5步来说，需要找到最小的点，接着遍历，故开始遍历C点。与C点相连的点有B、D、E，故此时基于已有的A-C的距离为3的基础，开始计算距离，分别为5、6、7

5、同理可得，取最小的点，开始遍历B，计算与其相关的点的距离。

6、遍历D

7、遍历E

8、至此，到了F点后，所有的点遍历完成。路径如下表所示，一目了然。

四：总结

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