武忠祥老师每日一题||定积分基础训练（九）

∫ 0 1 ln ⁡ ( 1 + x ) ( 2 − x ) 2 d x \int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{(2-x)^2}\,{\rm d}x ∫01(2−x)2ln(1+x)dx

根据题目的特点，有对数函数、有理函数，两种不同类型的函数相乘，对此，应用分部积分法。
当出现对数后，使用分部积分法时，应将除对数函数之外的部分凑到d后面去。

原式 = ∫ 0 1 ln ⁡ ( 1 + x ) d 1 2 − x 原式=\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,{\rm d}{\frac{1}{2-x}} 原式=∫01ln(1+x)d2−x1
= ln ⁡ ( 1 + x ) 2 − x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 1 2 − x d ( ln ⁡ ( 1 + x ) ) =\frac{\ln (1+x)}{2-x}|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{2-x}\,{\rm d}{(\ln (1+x))} =2−xln(1+x)∣01−∫012−x1d(ln(1+x))
= ln ⁡ 2 + ∫ 0 1 1 ( x − 2 ) ( x + 1 ) d x =\ln2+\int_{0}^{1}\frac{1}{(x-2)(x+1)}\,{\rm d}x =ln2+∫01(x−2)(x+1)1dx
= ln ⁡ 2 + 1 3 ln ⁡ ∣ x − 2 x + 1 ∣ ∣ 0 1 =\ln2+\frac{1}{3}\ln \lvert \frac{x-2}{x+1} \rvert|_{0}^{1} =ln2+31ln∣x+1x−2∣∣01
= ln ⁡ 2 + 1 3 ( − ln ⁡ 2 − ln ⁡ 2 ) =\ln 2+\frac{1}{3}(-\ln2 -\ln2) =ln2+31(−ln2−ln2)
= 1 3 ln ⁡ 2 =\frac{1}{3}\ln 2 =31ln2

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