最优化方法 24：ADMM

上一节讲了对偶问题上的 DR-splitting 就等价于原问题的 ADMM，这一节在详细的讲一下 ADMM 及其变种。

1. 标准 ADMM 形式

首先还是给出 ADMM 要求解的问题的格式，也就是约束存在耦合：
min⁡x,zf(x)+g(z)s.t.Ax+Bz=b\begin{aligned} \min_{x,z} \quad& f(x)+g(z) \\ \text{s.t.} \quad& Ax+Bz=b \end{aligned} x,zmins.t.f(x)+g(z)Ax+Bz=b
这个问题的增广拉格朗日函数为
Lβ(x,z,w)=f(x)+g(z)−w⊤(Ax+Bz−b)+β2∥Ax+Bz−b∥22L_{\beta}(\mathbf{x}, \mathbf{z}, \mathbf{w})=f(\mathbf{x})+g(\mathbf{z})-\mathbf{w}^{\top}(\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{B z}-\mathbf{b})+\frac{\beta}{2}\|\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{B z}-\mathbf{b}\|_{2}^{2} Lβ(x,z,w)=f(x)+g(z)−w⊤(Ax+Bz−b)+2β∥Ax+Bz−b∥22
ADMM 的迭代方程为
xk+1=argmin⁡xLβ(x,zk,wk)zk+1=argmin⁡zLβ(xk+1,z,wk)wk+1=wk−β(Axk+1+Bzk+1−b)\begin{array}{l} \mathbf{x}^{k+1}=\operatorname{argmin}_{\mathbf{x}} L_{\beta}\left(\mathbf{x}, \mathbf{z}^{\mathbf{k}}, \mathbf{w}^{k}\right) \\ \mathbf{z}^{k+1}=\operatorname{argmin}_{\mathbf{z}} L_{\beta}\left(\mathbf{x}^{k+1}, \mathbf{z}, \mathbf{w}^{k}\right) \\ \mathbf{w}^{k+1}=\mathbf{w}^{k}-\beta\left(\mathbf{A} \mathbf{x}^{k+1}+\mathbf{B} \mathbf{z}^{k+1}-\mathbf{b}\right) \end{array} xk+1=argminxLβ(x,zk,wk)zk+1=argminzLβ(xk+1,z,wk)wk+1=wk−β(Axk+1+Bzk+1−b)
这实际上就是把 ALM 中关于 x,zx,zx,z 的联合优化给分开了，分别进行优化。如果取 yk=wk/β\mathbf{y}^{k}=\mathbf{w}^{k}/\betayk=wk/β，就可以转化为
xk+1=argmin⁡xf(x)+g(zk)+β2∥Ax+Bzk−b−yk∥22zk+1=argmin⁡zf(xk+1)+g(z)+β2∥Axk+1+Bz−b−yk∥22yk+1=yk−(Axk+1+Bzk+1−b)\begin{array}{l} \mathbf{x}^{k+1}=\operatorname{argmin}_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})+g\left(\mathbf{z}^{k}\right)+\frac{\beta}{2}\left\|\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{B} \mathbf{z}^{k}-\mathbf{b}-\mathbf{y}^{k}\right\|_{2}^{2} \\ \mathbf{z}^{k+1}=\operatorname{argmin}_{\mathbf{z}} f\left(\mathbf{x}^{k+1}\right)+g(\mathbf{z})+\frac{\beta}{2}\left\|\mathbf{A} \mathbf{x}^{k+1}+\mathbf{B} \mathbf{z}-\mathbf{b}-\mathbf{y}^{k}\right\|_{2}^{2} \\ \mathbf{y}^{k+1}=\mathbf{y}^{k}-\left(\mathbf{A} \mathbf{x}^{k+1}+\mathbf{B} \mathbf{z}^{k+1}-\mathbf{b}\right) \end{array} xk+1=argminxf(x)+g(zk)+2β∥∥Ax+Bzk−b−yk∥∥22zk+1=argminzf(xk+1)+g(z)+2β∥∥Axk+1+Bz−b−yk∥∥22yk+1=yk−(Axk+1+Bzk+1−b)
最后一步也可以加一个步长系数
yk+1=yk−γ(Axk+1+Bzk+1−b)\mathbf{y}^{k+1}=\mathbf{y}^{k}-\gamma\left(\mathbf{A} \mathbf{x}^{k+1}+\mathbf{B} \mathbf{z}^{k+1}-\mathbf{b}\right) yk+1=yk−γ(Axk+1+Bzk+1−b)

2. 收敛性分析

假如 x⋆,z⋆,y⋆x^\star,z^\star,y^\starx⋆,z⋆,y⋆ 是该问题的最优解，那么对拉格朗日函数求导可以得到 KKT 条件
(primal feasibility)Ax⋆+Bz⋆=b(dual feasibility I)0∈∂f(x⋆)+ATy⋆(dual feasibility II)0∈∂g(z⋆)+BTy⋆\begin{array}{ll}(\text {primal feasibility}) & \mathbf{A x}^{\star}+\mathbf{B z}^{\star}=\mathbf{b} \\(\text {dual feasibility } I) & 0 \in \partial f\left(\mathbf{x}^{\star}\right)+\mathbf{A}^{T} \mathbf{y}^{\star} \\(\text {dual feasibility } I I) & 0 \in \partial g\left(\mathbf{z}^{\star}\right)+\mathbf{B}^{T} \mathbf{y}^{\star}\end{array} (primal feasibility)(dual feasibility I)(dual feasibility II)Ax⋆+Bz⋆=b0∈∂f(x⋆)+ATy⋆0∈∂g(z⋆)+BTy⋆
由于 zk+1=argmin⁡zg(z)+β2∥Axk+1+Bz−b−yk∥22\mathbf{z}^{k+1}=\operatorname{argmin}_{\mathbf{z}} g(\mathbf{z})+\frac{\beta}{2}\left\|\mathbf{A} \mathbf{x}^{k+1}+\mathbf{B} \mathbf{z}-\mathbf{b}-\mathbf{y}^{k}\right\|_{2}^{2}zk+1=argminzg(z)+2β∥∥Axk+1+Bz−b−yk∥∥22，求导就可以得到
⇒0∈∂g(zk+1)+BT(Axk+1+Bzk+1−b−yk)=∂g(zk+1)+BTyk+1\Rightarrow 0 \in \partial g\left(\mathbf{z}^{k+1}\right)+\mathbf{B}^{T}\left(\mathbf{A} \mathbf{x}^{k+1}+\mathbf{B} \mathbf{z}^{k+1}-\mathbf{b}-\mathbf{y}^{k}\right)=\partial g\left(\mathbf{z}^{k+1}\right)+\mathbf{B}^{T} \mathbf{y}^{k+1} ⇒0∈∂g(zk+1)+BT(Axk+1+Bzk+1−b−yk)=∂g(zk+1)+BTyk+1
也就是说对偶可行性 IIIIII 在每次迭代过程中都能满足，但是对偶可行性 III 则不能满足，因为有
0∈∂f(xk+1)+AT(yk+1+B(zk−zk+1))0 \in \partial f\left(\mathbf{x}^{k+1}\right)+\mathbf{A}^{T}\left(\mathbf{y}^{k+1}+\mathbf{B}\left(\mathbf{z}^{k}-\mathbf{z}^{k+1}\right)\right) 0∈∂f(xk+1)+AT(yk+1+B(zk−zk+1))
当 k→∞k\to\inftyk→∞ 的时候 III 还是可以渐近逼近的。

收敛性：如果假设 f,gf,gf,g 是闭凸函数，并且 KKT 条件的解存在，那么 Axk+Bzk→b\mathbf{A} \mathbf{x}^{k}+\mathbf{B z}^{k} \rightarrow \mathbf{b}Axk+Bzk→b，f(xk)+g(zk)→p∗f\left(\mathbf{x}^{k}\right)+g\left(\mathbf{z}^{k}\right) \rightarrow p^{*}f(xk)+g(zk)→p∗，yk\mathbf{y}^{k}yk 收敛。并且如果 (xk,yk)(x^k,y^k)(xk,yk) 有界，他们也收敛。

收敛速度：ADMM 算法的收敛速度没有一个 general 的分析和结论。在不同的假设条件下有不同的结论。

如果每步更新都有关于 xk,yk,zkx^k,y^k,z^kxk,yk,zk 的准确解，并且 fff 光滑，∇f\nabla f∇f 利普希茨连续，那么收敛速度为 O(1/k),O(1/k2)O(1/k),O(1/k^2)O(1/k),O(1/k2)（应该是针对不同情况可能有不同速度，课上也没怎么讲，了解一下就够了）
…

3. ADMM 变种

在 ADMM 的标准形式里比较关键的实际上就是要求一个如下形式的子问题（极小化问题）
min⁡xf(x)+β2∥Ax−v∥22\min _{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})+\frac{\beta}{2}\|\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{v}\|_{2}^{2} xminf(x)+2β∥Ax−v∥22
其中 v=b−Bzk+yk\mathbf{v}=\mathbf{b}-\mathbf{B} \mathbf{z}^{k}+\mathbf{y}^{k}v=b−Bzk+yk。这个问题对于不同的 fff 求解复杂度也不一样，而且有的时候并不能得到准确的解，只能近似。实际上这也是一个优化问题，可以采用的方法有

迭代方法，比如 CG，L-BFGS；
如果 f(x)=1/2∥Cx−d∥2f(x)=1/2 \|Cx-d\|^2f(x)=1/2∥Cx−d∥2，那么子问题就是求解方程 (CTC+βATA)xk+1=⋯(C^TC+\beta A^TA)x^{k+1}=\cdots(CTC+βATA)xk+1=⋯，由于 CCC 是固定的参数，因此可以在一开始做一次 Cholesky 分解或者 LDLTLDL^TLDLT 分解，之后求解就很简单了。另外如果 (CTC+βATA)(C^TC+\beta A^TA)(CTC+βATA) 的结构是简单矩阵 + 低秩矩阵，就可以用 Woodbury 公式矩阵求逆；
单次梯度下降法 xk+1=xk−ck(∇f(xk)+βAT(Ax+Bzk−b−yk))\mathbf{x}^{k+1}=\mathbf{x}^{k}-c^{k}\left(\nabla f\left(\mathbf{x}^{k}\right)+\beta \mathbf{A}^{T}\left(\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{B} \mathbf{z}^{k}-\mathbf{b}-\mathbf{y}^{k}\right)\right)xk+1=xk−ck(∇f(xk)+βAT(Ax+Bzk−b−yk))
如果 fff 非光滑，也可以把上面的梯度下降换成 proximal 梯度下降；
可以在后面加一个正则项

xk+1=argmin⁡f(x)+β2∥Ax+Byk−b−zk∥22+β2(x−xk)T(D−ATA)(x−xk)\mathbf{x}^{k+1}=\operatorname{argmin} f(\mathbf{x})+\frac{\beta}{2}\left\|\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{B y}^{k}-\mathbf{b}-\mathbf{z}^{k}\right\|_{2}^{2}+\frac{\beta}{2}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{k}\right)^{T}\left(\mathbf{D}-\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right)\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{k}\right) xk+1=argminf(x)+2β∥∥∥Ax+Byk−b−zk∥∥∥22+2β(x−xk)T(D−ATA)(x−xk)

这个时候优化问题就变成了 min⁡f(x)+(β/2)(x−xk)TD(x−xk)\min f(x)+(\beta/2)(x-x^k)^TD(x-x^k)minf(x)+(β/2)(x−xk)TD(x−xk)，如果取一个简单的 DDD 比如 D=ID=ID=I，那么问题就可能得到简化。

4. 分布式 ADMM

回想我们之前在计算近似点以及近似点梯度下降的时候，如果函数 f,gf,gf,g 有特殊结构是不是可以分布式并行计算，而 ADMM 的子问题实际上跟近似点算子很像，所以如果有一定的特殊结构也可以并行处理。

首先回忆一下 ADMM 子问题的形式
min⁡xf(x)+β2∥Ax−v∥22\min _{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})+\frac{\beta}{2}\|\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{v}\|_{2}^{2} xminf(x)+2β∥Ax−v∥22
现在这个优化变量 x\mathbf{x}x 是一个向量，我们的思想就是 x\mathbf{x}x 分成多个子块 x1,...,xnx_1,...,x_nx1,...,xn，如果函数有特殊的形式，就能把上面的问题解耦成多个子项的求和，然后针对 x1,...,xnx_1,...,x_nx1,...,xn 就能并行求解了。下面看几种特殊形式。

4.1 Distributed ADMM Ⅰ

函数 fff 需要是可分的
f(x)=f1(x1)+f2(x2)+⋯+fN(xN)f(\mathbf{x})=f_{1}\left(\mathbf{x}_{1}\right)+f_{2}\left(\mathbf{x}_{2}\right)+\cdots+f_{N}\left(\mathbf{x}_{N}\right) f(x)=f1(x1)+f2(x2)+⋯+fN(xN)
约束条件 Ax+Bz=bA\mathbf{x}+B\mathbf{z}=\mathbf{b}Ax+Bz=b 也需要是可分的
A=[A10A2⋱0AN]\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}\mathbf{A}_{1} & & & \mathbf{0} \\& \mathbf{A}_{2} & & \\& & \ddots & \\\mathbf{0} & & & \mathbf{A}_{N}\end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎡A10A2⋱0AN⎦⎥⎥⎤
如果满足上面的两个性质，那么原本的更新过程
xk+1←min⁡f(x)+β2∥Ax+Byk−b−zk∥22\mathbf{x}^{k+1} \leftarrow \min f(\mathbf{x})+\frac{\beta}{2}\left\|\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{B y}^{k}-\mathbf{b}-\mathbf{z}^{k}\right\|_{2}^{2} xk+1←minf(x)+2β∥∥∥Ax+Byk−b−zk∥∥∥22
就可以分成并行的 NNN 个优化问题
x1k+1←min⁡f1(x1)+β2∥A1x1+(Byk−b−zk)1∥22⋮xNk+1←min⁡fN(xN)+β2∥ANxN+(Byk−b−zk)N∥22\begin{array}{c}\mathbf{x}_{1}^{k+1} \leftarrow \min f_{1}\left(\mathbf{x}_{1}\right)+\frac{\beta}{2}\left\|\mathbf{A}_{1} \mathbf{x}_{1}+\left(\mathbf{B} \mathbf{y}^{k}-\mathbf{b}-\mathbf{z}^{k}\right)_{1}\right\|_{2}^{2} \\\vdots \\\mathbf{x}_{N}^{k+1} \leftarrow \min f_{N}\left(\mathbf{x}_{N}\right)+\frac{\beta}{2}\left\|\mathbf{A}_{N} \mathbf{x}_{N}+\left(\mathbf{B} \mathbf{y}^{k}-\mathbf{b}-\mathbf{z}^{k}\right)_{N}\right\|_{2}^{2}\end{array} x1k+1←minf1(x1)+2β∥∥A1x1+(Byk−b−zk)1∥∥22⋮xNk+1←minfN(xN)+2β∥∥ANxN+(Byk−b−zk)N∥∥22
例子 1(consensus)：假如我们的 fff 并不像上面那样可分，而是 min⁡∑i=1Nfi(x)\min\sum_{i=1}^N f_i(\mathbf{x})min∑i=1Nfi(x)，注意上面要求 fi,fjf_i,f_jfi,fj 的自变量分别是 xi,xjx_i,x_jxi,xj，而这里的 fi,fjf_i,f_jfi,fj 的自变量都是 x\mathbf{x}x。可以怎么办呢？引入 x\mathbf{x}x 的 NNN 个 copies，把优化问题写成
min⁡{xi},z∑ifi(xi)s.t.xi−z=0,∀i\begin{aligned}\min_{\{\mathbf{x}_i\},\mathbf{z}} \quad& \sum_i f_i(\mathbf{x}_i) \\\text{s.t.} \quad& \mathbf{x}_i-\mathbf{z}=0,\forall i\end{aligned} {xi},zmins.t.i∑fi(xi)xi−z=0,∀i
例子 2(exchange)：优化问题的形式为
min⁡{xi},z∑ifi(xi)s.t.∑ixi=0\begin{aligned}\min_{\{\mathbf{x}_i\},\mathbf{z}} \quad& \sum_i f_i(\mathbf{x}_i) \\\text{s.t.} \quad& \sum_i\mathbf{x}_i=0\end{aligned} {xi},zmins.t.i∑fi(xi)i∑xi=0
这个问题的满足 fff 可分了，但是却不满足上面要求的 AAA 的形式。可以怎么做呢？再次引入变量
min⁡{xi},z∑ifi(xi)s.t.xi−xi′=0,∀i∑ixi′=0\begin{aligned}\min_{\{\mathbf{x}_i\},\mathbf{z}} \quad& \sum_i f_i(\mathbf{x}_i) \\\text{s.t.} \quad& \mathbf{x}_i-\mathbf{x}_i'=0,\forall i \\\quad& \sum_i\mathbf{x}_i'=0\end{aligned} {xi},zmins.t.i∑fi(xi)xi−xi′=0,∀ii∑xi′=0
这个时候 xi\mathbf{x}_ixi 可以并行计算了，但是 xi′\mathbf{x}_i'xi′ 还需要处理
(xi′)k+1=arg⁡min⁡{xi′}∑iβ2∥xik+1−xi′+yik/β∥s.t.∑ixi′=0(\mathbf{x}_i')^{k+1}=\arg\min_{\{\mathbf{x}_i'\}} \sum_i \frac{\beta}{2}\|\mathbf{x}_i^{k+1}-\mathbf{x}_i' + \mathbf{y}_i^k/\beta\| \\\text{s.t.} \sum_i \mathbf{x}_i'=0 (xi′)k+1=arg{xi′}mini∑2β∥xik+1−xi′+yik/β∥s.t.i∑xi′=0
这个问题可以得到闭式解，代入关于 xi\mathbf{x}_ixi 的迭代方程里就可以得到
xik+1=argmin⁡xifi(xi)+β2∥xi−(xik−mean⁡{xik}−uk)∥22uk+1=uk+mean⁡{xik+1}\begin{aligned}\mathbf{x}_{i}^{k+1} &=\underset{\mathbf{x}_{i}}{\operatorname{argmin}} f_{i}\left(\mathbf{x}_{i}\right)+\frac{\beta}{2}\left\|\mathbf{x}_{i}-\left(\mathbf{x}_{i}^{k}-\operatorname{mean}\left\{\mathbf{x}_{i}^{k}\right\}-\mathbf{u}^{k}\right)\right\|_{2}^{2} \\\mathbf{u}^{k+1} &=\mathbf{u}^{k}+\operatorname{mean}\left\{\mathbf{x}_{i}^{k+1}\right\}\end{aligned} xik+1uk+1=xiargminfi(xi)+2β∥∥xi−(xik−mean{xik}−uk)∥∥22=uk+mean{xik+1}
实际上，这个 exchange 问题还是 consensus 问题的对偶形式，只需要写出来拉格朗日函数和 KKT 条件就可以了。

4.2 Distributed ADMM Ⅱ

前面是对 x\mathbf{x}x 进行分解，其实我们还可以对 z\mathbf{z}z 进行分解。对于约束 Ax+z=bA\mathbf{x}+\mathbf{z}=\mathbf{b}Ax+z=b，可以按行分解
A=[A1⋮AL],z=[z1⋮zL],b=[b1⋮bL]\mathbf{A}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}_{1} \\\vdots \\\mathbf{A}_{L}\end{array}\right], \mathbf{z}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{z}_{1} \\\vdots \\\mathbf{z}_{L}\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{b}_{1} \\\vdots \\\mathbf{b}_{L}\end{array}\right] A=⎣⎢⎡A1⋮AL⎦⎥⎤,z=⎣⎢⎡z1⋮zL⎦⎥⎤,b=⎣⎢⎡b1⋮bL⎦⎥⎤
这个时候假如优化函数的形式为 min⁡x,z∑l(fl(x)+gl(zl)),s.t.Ax+z=b\min_{\mathbf{x},\mathbf{z}}\sum_l (f_l(\mathbf{x})+g_l(\mathbf{z}_l)),\text{ s.t.}A\mathbf{x}+\mathbf{z}=\mathbf{b}minx,z∑l(fl(x)+gl(zl)), s.t.Ax+z=b，注意到这个时候虽然关于 z\mathbf{z}z 是可分的，但是关于 x\mathbf{x}x 却不是，跟前面的方法类似，我们把 z\mathbf{z}z copy 很多份，就可以转化为
min⁡x,{xl},z∑l(fl(xl)+gl(zl))s.t.Alxl+zl=bl,∀ixl−x=0\begin{aligned}\min_{\mathbf{x},\{\mathbf{x}_l\},\mathbf{z}} \quad& \sum_l (f_l(\mathbf{x}_l)+g_l(\mathbf{z}_l)) \\\text{s.t.} \quad& A_l\mathbf{x}_l+\mathbf{z}_l=\mathbf{b}_l,\forall i \\\quad& \mathbf{x}_l-\mathbf{x}=0\end{aligned} x,{xl},zmins.t.l∑(fl(xl)+gl(zl))Alxl+zl=bl,∀ixl−x=0
ADMM 方法中第一步我们更新 {xl}\{\mathbf{x}_l\}{xl} 这可以并行处理，第二步我们更新 x,z\mathbf{x},\mathbf{z}x,z，巧妙的是我们也可以把他们两个解耦合开再并行处理。

4.3 Distributed ADMM Ⅲ

实际上前面分别是对矩阵 AAA 按列分解和按行分解，那也很容易想到我们可以既对列分解也对行分解。

对优化问题
min⁡∑jfj(xj)+∑igi(zi)s.t.Ax+z=b\begin{aligned}\min \quad& \sum_j f_j(\mathbf{x}_j)+\sum_i g_i(\mathbf{z}_i) \\\text{ s.t.}\quad& A\mathbf{x}+\mathbf{z}=\mathbf{b}\end{aligned} min s.t.j∑fj(xj)+i∑gi(zi)Ax+z=b
那么就可以分解为
A=[A11A12⋯A1NA21A22⋯A2N…AM1AM2⋯AMN],also b=[b1b2⋮bM]\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots & \mathbf{A}_{1 N} \\\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{2 N} \\& & \ldots & \\\mathbf{A}_{M 1} & \mathbf{A}_{M 2} & \cdots & \mathbf{A}_{M N}\end{array}\right], \text { also } \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{b}_{1} \\\mathbf{b}_{2} \\\vdots \\\mathbf{b}_{M}\end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎡A11A21AM1A12A22AM2⋯⋯…⋯A1NA2NAMN⎦⎥⎥⎤, also b=⎣⎢⎢⎢⎡b1b2⋮bM⎦⎥⎥⎥⎤
优化问题可以转化为
min⁡∑jfj(xj)+∑igi(zi)s.t.∑jAijxj+zi=bi,i=1,...,M\begin{aligned}\min \quad& \sum_j f_j(\mathbf{x}_j)+\sum_i g_i(\mathbf{z}_i) \\\text{ s.t.}\quad& \sum_j A_{ij}\mathbf{x}_j+\mathbf{z}_i=\mathbf{b}_i,i=1,...,M\end{aligned} min s.t.j∑fj(xj)+i∑gi(zi)j∑Aijxj+zi=bi,i=1,...,M
但是注意到这个时候 xj\mathbf{x}_jxj 之间还是相互耦合的，类比前面的方法，要想解耦合，我们就找一个“替身”，这次是 pij=Aijxj\mathbf{p}_{ij}=A_{ij}\mathbf{x}_jpij=Aijxj，那么新的问题就是
min⁡∑jfj(xj)+∑igi(zi)s.t.∑jpij+zi=bi,∀ipij=Aijxj,∀i,j\begin{aligned}\min \quad& \sum_j f_j(\mathbf{x}_j)+\sum_i g_i(\mathbf{z}_i) \\\text{ s.t.}\quad& \sum_j \mathbf{p}_{ij}+\mathbf{z}_i=\mathbf{b}_i,\forall i \\\quad& \mathbf{p}_{ij}=A_{ij}\mathbf{x}_j,\forall i,j\end{aligned} min s.t.j∑fj(xj)+i∑gi(zi)j∑pij+zi=bi,∀ipij=Aijxj,∀i,j
ADMM 中可以交替更新 {pij}\{\mathbf{p}_{ij}\}{pij} 和 ({xj},{zi})(\{\mathbf{x}_j\},\{\mathbf{z}_i\})({xj},{zi})。关于 {pij}\{\mathbf{p}_{ij}\}{pij} 的求解有闭式解，关于 ({xj},{zi})(\{\mathbf{x}_j\},\{\mathbf{z}_i\})({xj},{zi}) 也是可以分解为分别更新 {xj},{zi}\{\mathbf{x}_j\},\{\mathbf{z}_i\}{xj},{zi}，但是需要注意的是更新 xj\mathbf{x}_jxj 的时候 fj,A1jTA1j,...,AMjTAMjf_j,A_{1j}^TA_{1j},...,A_{Mj}^TA_{Mj}fj,A1jTA1j,...,AMjTAMj 都耦合在一起了，实际当中计算应该还是比较麻烦的。

4.3 Distributed ADMM Ⅳ

既然上面第三类方法中还是有耦合，那我们就可以再引入“替身变量”来解耦合，对每个 xj\mathbf{x}_jxj 都 copy 出来 x1j,...,xMj\mathbf{x}_{1j},...,\mathbf{x}_{Mj}x1j,...,xMj，之后可以得到
min⁡∑jfj(xj)+∑igi(zi)s.t.∑jpij+zi=bi,∀ipij=Aijxij,∀i,jxj=xij,∀i,j\begin{aligned}\min \quad& \sum_j f_j(\mathbf{x}_j)+\sum_i g_i(\mathbf{z}_i) \\\text{ s.t.}\quad& \sum_j \mathbf{p}_{ij}+\mathbf{z}_i=\mathbf{b}_i,\forall i \\\quad& \mathbf{p}_{ij}=A_{ij}\mathbf{x}_{ij},\forall i,j \\\quad& \mathbf{x}_{j}=\mathbf{x}_{ij},\forall i,j\end{aligned} min s.t.j∑fj(xj)+i∑gi(zi)j∑pij+zi=bi,∀ipij=Aijxij,∀i,jxj=xij,∀i,j
ADMM 中可以交替更新 ({xj},{pij})(\{\mathbf{x}_j\},\{\mathbf{p}_{ij}\})({xj},{pij}) 和 ({xij},{zi})(\{\mathbf{x}_{ij}\},\{\mathbf{z}_i\})({xij},{zi})

最后给我的博客打个广告，欢迎光临
https://glooow1024.github.io/
https://glooow.gitee.io/

前面的一些博客链接如下
凸优化专栏
凸优化学习笔记 1：Convex Sets
凸优化学习笔记 2：超平面分离定理
凸优化学习笔记 3：广义不等式
凸优化学习笔记 4：Convex Function
凸优化学习笔记 5：保凸变换
凸优化学习笔记 6：共轭函数
凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
凸优化学习笔记 8：对数凸函数
凸优化学习笔记 9：广义凸函数
凸优化学习笔记 10：凸优化问题
凸优化学习笔记 11：对偶原理
凸优化学习笔记 12：KKT条件
凸优化学习笔记 13：KKT条件 & 互补性条件 & 强对偶性
凸优化学习笔记 14：SDP Representablity
最优化方法 15：梯度方法
最优化方法 16：次梯度
最优化方法 17：次梯度下降法
最优化方法 18：近似点算子 Proximal Mapping
最优化方法 19：近似梯度下降
最优化方法 20：对偶近似点梯度下降法
最优化方法 21：加速近似梯度下降方法
最优化方法 22：近似点算法 PPA
最优化方法 23：算子分裂法 & ADMM
最优化方法 24：ADMM