矩母函数(Moment Generating Function)
矩母函数
如果能求出一个随机变量的矩母函数,那么我们就可以通过求导来轻松地找到任意一个矩,而矩可以让我们了解分布的函数图像形状(类似于泰勒级数近似函数图像)
所有的矩并不总是可以唯一确定概率分布
复分析中拉普拉斯公式和傅里叶反演公式,用来确定什么时候可以用矩唯一地确定概率密度函数
回顾矩
矩母函数
各个常见分布的矩母函数和特征函数
截图来源:Moment Generating Function
矩母函数的性质
性质一:
通过泰勒级数展开证明性质一
直接对 tkt^ktk 求导证明性质一
性质二:
证明性质二
性质三:
证明性质三
例子:
我们推导泊松分布的矩母函数,由矩母函数计算出泊松分布的一阶矩(均值)和二阶矩,结合二阶矩和一阶矩计算出方差
直接将矩母函数级数展开,来找到一阶矩和二阶矩
例子:
我们推导二项分布的矩母函数,由矩母函数计算出二项分布的一阶矩(均值)和二阶矩,结合二阶矩和一阶矩计算出方差
直接将矩母函数级数展开,来找到一阶矩和二阶矩
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