李永乐（一）行列式计算——笔记
行列式基本性质
一、行列式求值
说明：第 i 行元素 乘 第 j 列的代数余子式 之和 = 0
二、转置行列式值不变
引申：行有什么性质，列就有什么性质
三、两行互换，行列式值变号
引申：两行相同，行列式值为0
四、某行全0 || 两行成比例，行列式=0
五、行列式可拆
注：不要理解错了，二 三行照抄，拆第一行（本着好算的原则拆）
六、行列倍加，值不变
这条性质用的最多
- 加出公因数，提出公因数
- 加出0
重要公式
1.
这里“-1”的次数是：n*(n-1)/2
2.拉普拉斯
3.范德蒙
4.行列式乘法公式
例题
1.利用行列式性质计算
思路：通过初等变换使行列式中先出现1，然后用1使行列式中出现0，再用展开公式。
答案
2.利用拉普拉斯公式
答案
进阶
答案
3.利用范德蒙公式
答案
4.求特征值
观察除主对角线以外的元素，两个数加加减减可以得零，的同时，能够出现λ的公因式。
答案
例题
5.有规律行列式—例题
答案法一：
下面每一行都加到第一行，然后提取公因式。然后消零。出现上三角，直接写出答案。
加出公因式来，提出去，再消零。
答案法二：
下面每一行都减去第一行，做出相反数（x和-x），然后就出现下三角。
答案法三：
第三行的-1倍加到第四行，第二行的-1倍加到第三行，第一行的-1倍加到第二行，出相反数，消出零之后，对第一行展开，出下三角。
总结：
行列式有规律：想办法做公因数，相反数，想办法做0。
行列式无规律：消0，降阶。
6.证明题：证明范德蒙公式
解：
假设n = n-1的时候命题正确。
要证n = n的时候命题正确。
所以想到把n = n时的行列式降阶，因为n-1的行列式是正确的，现在要证明n阶，就要利用n-1阶的信息。
所以要用消零的方法来使n阶行列式降阶。
现在的问题是怎样把n阶行列式降阶。
把n-1行的-x1倍加到第n行，n-2行到第1行以此类推，这样就能把第一列消0。
然后按照第一列展开。
证明完毕！
克拉默法则（多数情况用于证明题）
说明：其中Di 就是把第i列换成常数项的行列式的值。
推论：
推论二是证 行列式 = 0 的重要构思。
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