超简单背包问题动态规划之三国篇

原创声明：

本故事纯属虚构，如有雷同，纯属巧合。

撸二儿眉头紧锁，盯着电脑屏幕一言不发。

我凑上前儿一瞧，哎呀，正是《三国演义》第四十一回，“刘玄德携民渡江，赵子龙单骑救主”！却说这刘备携百姓弃新野，走攀城，又欲奔襄阳暂避，奈何蔡瑁拒不打开城门，只得转向江陵。途中遇刘表墓，复又伏前痛哭~

众将劝他：”今拥民众数万，日行十余里，似此几时得至江陵？倘曹兵到，如何迎敌？不如暂弃百姓，先行为上！”，刘备哭着说：“举大事者必以人为本。今人归我，奈何弃之？”

百姓闻玄德此言莫不伤感！

这时一位老父上前：”将军仁义，吾等皆愿跟随将军。怎奈吾包裹破旧，不能负重，欲择选数件背之，余弃之，将军可帮老朽定夺？”

刘备答曰“备不才，愿一试！”。

说着走到行李处，老父指道：“此处有一玉壶，重二两，值六两银子；一烟斗，重二两，值三两银子；一石器，重六两，值五两银子；一铁斧，重五两，值四两银子；一宝砚，重四两，值六两银子。老朽此包只得承载十两，将军可有良策，使吾负有所值？”

玄德暗忖道“倘若孔明在此，可询之。奈何先生与二弟前往江夏求救于公子琦，不在吾之左右，为之奈何啊？”

撸二儿看到此处，抓耳挠腮！

我见状，打趣道“盖闻撸二儿有经天纬地之才，扭转乾坤之力，匡扶宇宙之功…blablalba，公可有一策，以助玄德公？”

撸二儿听地得意洋洋，答道“汝所言赞美之词，不过书中寻章摘句，笔下虽有千言，胸中实无一策，此小儿之问，汝竟不知，亦不过如此耳！”

我悻悻道“愿闻其详！”

撸二儿愈加兴奋答道“汝可先列下表:

序号	1	2	3	4	5
物品	玉壶	烟斗	石器	铁斧	宝砚
重量(W)	2	2	6	5	4
价值(V)	6	3	5	4	6

然后每个物品试之，皆列出如下可行之策：

策一：物品1

策二：物品2

策三：物品3

策四：物品4

策五：物品5

策六：物品1 + 物品2

策七：物品1 + 物品3

…….

如此这般，列出所有可选之策，择其最优，岂不解之？”

撸二儿说完，愈发得意起来。

我答道“此虽好，算起来未免复杂，每物有两态，可选或不可选，即：

2*2*……*2 = 2^n；

亦即共需计算2^n次，此法未免计算过多啊？”

撸二儿低头沉思，半响问道“公可有良策？”

我又说道“公饱读诗书，每日自比于管仲，乐毅……blablabla~”

撸二儿急忙起身腾出椅子，双手作楫道“小生狂妄，在此班门弄斧，为先生所笑！愿先生不与小儿之见，还望教之！”

我看撸二儿态度诚恳，不忍戏之，便执笔说道“汝可取建立以下模型：

最大的价值：MAX = max( V1X1 + V2X2 + …+ VnXn)；

V1，V2，V3…Vn为每物价值；X1，X2，…Xn为0或1；

约束条件：W1X1 + W2X2 +…+ WnXn <Capacity；

W1，W2，…Wn为每物重量；Capacity为包裹承重最大值；

定义当前状态价值：V(i，j)；

此值表明第i个物品，当前包裹承重为j时最佳组合对应的价值；

对第i个物品的判断，可分为以下两种情况：

情况一：当前包裹承重j小于物品重量Wi，此时的价值与前i-1的物品价值相等，即

V(i，j ) =V(i-1，j)；

情况二：当前包裹承重j大于等于物品重量Wi，此时若选择拿，则：

V(拿) = V(i，j) = V(i-1，j – Wi) + Vi；

若选择不拿，则与前i-1个物品价值相等，则：

V(不拿) = V(i，j) = V(i-1，j)

取V(拿)与V(不拿)大者即可。

据此填出下表T1：

序号	1	2	3	4	5
物品	玉壶	烟斗	石器	铁斧	宝砚
重量(W)	2	2	6	5	4
价值(V)	6	3	5	4	6

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2	0	6	6	9	9	9	9	9	9	9
3	0	6	6	9	9	9	9	11	11	14
4	0	6	6	9	9	9	10	11	13	14
5	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15

不难看出，V(0，j) = V(i，0) = 0，(i，j = 0，1，2…10)；

V(1，1)：j = 1 < W1 = 2，即V(1，1) = V(0，1) = 0，故取0填入上表V(1，1)；

V(1，2)：j = 2 = W1 = 2，即V(拿)= V(0，0) + V1 = 6，

V(不拿) = V(0，2) = 0，

V(拿) > V(不拿)，故取6填入上表V(1，2)；

V(1，3)：j = 3 > W1 = 2，即V(拿) = V(1，1) + V1 = 6，

V(不拿) =V(0，3) = 0，

V(拿) > V(不拿)，故取6填入上表V(1，3)；

以此推之，如

V(4，7)：j = 7 > W4 = 5，即V(拿) = V(3，2) + V4 = 6 + 4 = 10，

V(不拿) =V(3，7) = 9，

V(拿) > V(不拿)，故取10填入上表V(4，7)；

汝填完此表，汝即可知选择物品得到的最大价值！”

撸二儿得此表，聚精会神地填写起来~

须庾，表填毕，撸二儿拿起表来，捻须好一番审视！

“先生，小生还有一问。”撸二儿问道，

“汝但问无妨！”我爽快地答道。

“此虽能获得所选之物最大价值，却不能得出所选物品，还请先生赐教。”撸二儿问道。

“好，及俺给你道来！”我按在桌台上又问道：

“汝可知，选择物品最大价值在何处？”我问道，

“余观表T1可知，所取最大值在V(5，10)，V(5，9)及V(5，8)处。”撸二儿答道。

“善！既如此，不妨取V(5，10)以观之：

V(5，10) ≠ V(4，10)，即已取物品5，而又观：

V(5，10) = V(4，6) + V5 = 9 + 6 = 15，知：

V(5，10)上一状态为V(4，6)。

循此法，即可知所选之物为5、2、1，具以表T2以示。”我缓缓说来。

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2	0	6	6	9	9	9	9	9	9	9
3	0	6	6	9	9	9	9	11	11	14
4	0	6	6	9	9	9	10	11	13	14
5	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15

“得遇先生所论，甚善，待吾乘时间机器到那三国，以助玄德公！”说罢，撸二儿自念咒语“ѾѽѺѨѩҚXLѤҀSHAҁӁ！”念完风起云滚，忽得一道闪电，携撸二儿一同进入到那荧幕中~

刘备正愁眉莫展，忽得一阵怪风袭来！

飘飘然来一位鹤发单颜的老者，对备曰“将军莫虑，如在下给你道来~~”，这位仙风道骨的老者正是撸二儿，他教以刘备如是这般，使得备顷刻茅塞顿开！

说完，撸二儿正欲归来，备扯着撸二儿的袖子道“备遇先生，如久旱遇甘霖…blablabla~”

附代码/C++

//背包问题
//给定n种物品和一个容量为Capacity的背包，物品i的重量是wi，其价值为vi
const int VNUM = 6;
const int WNUM = 6;
const int CAPACITY = 10;
int values[VNUM] = {0,6,3,5,4,6};
int weights[WNUM] = {0,2,2,6,5,4};
int maxvalue[VNUM][CAPACITY+1] = {0};
int MaxValue(){int i,j;for (i = 1; i <= VNUM; i++) {for (j = 1; j <= CAPACITY; j++) {//剩余空间不够装if (j < weights[i]) {maxvalue[i][j] = maxvalue[i-1][j];}//剩余空间可装else {//选择装与不装之间中的较大值maxvalue[i-1][j] > (maxvalue[i-1][j-weights[i]] + values[i]) ?maxvalue[i][j] = maxvalue[i-1][j] :maxvalue[i][j] = maxvalue[i-1][j-weights[i]] + values[i];}}}return maxvalue[VNUM-1][CAPACITY];}

//查找哪些物品被选入

int items[VNUM] = {0};
void Find(int i,int j) {if (i < 1) return;if (maxvalue[i][j] == maxvalue[i-1][j]) {items[i] = 0;    //与未选状态相等，不选Find(i-1,j);}else if( j >= weights[i] && maxvalue[i][j] == maxvalue[i-1][j-weights[i]] + values[i]) {items[i] = 1;    //与未选状态不等，找出上一状态Find(i-1,j-weights[i]);}}

（以上内容若有不严谨，错误之处，欢迎各位大佬指正，感激不尽！）

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