线性回归

分类：目标值离散
回归：目标值连续

线性回归：寻找一种能预测的趋势

线性关系：-二维：直线关系-三维：平面

线性关系定义

y=kx+by = kx + by=kx+b

参数b，偏置项，为了对于单个特征的情况更加通用
参数k，权重

f(x)=w1x1+w2x2+...+wdxd+bf(x) = w_1x_1 + w_2x_2 +...+ w_dx_d + bf(x)=w1x1+w2x2+...+wdxd+b

线性回归定义：
线性回归通过一个或多个自变量与因变量之间进行建模的回归分析

一元线性回归：变量只有一个
多元线性回归：变量两个或以上

通用公式：
h(w)=w0+w1x1+w2x2+...=wTxh(w) = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + ... = w^Tx h(w)=w0+w1x1+w2x2+...=wTx
其中w，x为矩阵
w=(w0w1w2)w = \begin{pmatrix} w_0 \\ w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}w=⎝⎛w0w1w2⎠⎞, x=(1x1x2)x = \begin{pmatrix} 1 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}x=⎝⎛1x1x2⎠⎞

属性和权重的组合来预测结果

矩阵

        数组              矩阵
0维      11维      [1, 2, 3]2维      [               必须是二维的[1, 2, 3],     满足了特定的运算要求[4, 5, 6]      ]3维      [[[1, 2, 3],[4, 5, 6]],[[1, 2, 3],[4, 5, 6]]]

数组的运算：加法，乘法
numpy.ndarray

矩阵乘法：
(m行，l列) * (l行，n列) = （m行，n列）

特征值                 权重              目标值
[[1, 2, 3, 4]]   [[1], [2], [3], [4]]   一个样本一个值
(1, 4)              (4, 1)              (1,1)
(100, 4)              (4, 1)              (100,1)

数组相乘

import numpy as npa = [[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [1, 4, 3, 5]
]
b = [2, 2, 2, 2]np.multiply(a, b)Out[5]:
array([[ 2,  4,  6,  8],[10, 12, 14, 16],[ 2,  8,  6, 10]])

矩阵相乘

import numpy as npa = [[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [1, 4, 3, 5]
]
c = [[2], [2], [2], [2]
]np.dot(a, c)
Out[9]:
array([[20],[52],[26]])

线性回归

求函数中的参数w，使得损失函数最小

迭代的算法

损失函数（误差大小）

f(a)=(hw(x1)−y1)2+(hw(x2)−y2)2+...+(hw(xm)−ym)2f(a)=(h_w(x_1)-y_1)^2 + (h_w(x_2)-y_2)^2 + ... +(h_w(x_m)-y_m)^2f(a)=(hw(x1)−y1)2+(hw(x2)−y2)2+...+(hw(xm)−ym)2
f(a)=∑i=1m(hw(xi)−yi)2f(a) = \sum_{i=1}^{m}(h_w(x_i)-y_i)^2f(a)=i=1∑m(hw(xi)−yi)2
yiy_iyi 为第i个训练样本的真实值
hw(xi)h_w(x_i)hw(xi) 为第i个训练赝本特征值组合预测函数
又称为最小二乘法

尽量去减少损失，算法的自我学习过程

算法      策略（损失函数） 优化
线性回归     误差平方和    正规方程最小二乘法    梯度下降

最小二乘法之正规方程

w=(XTX)−1XTyw = (X^TX)^{-1}X^Tyw=(XTX)−1XTy

XXX 为特征矩阵
yyy 为目标值矩阵
缺点：当特征过于复杂，求解速度太慢

XTX^TXT 转置

X−1X^-1X−1 求逆 -> X∗?=单位矩阵X * ? = 单位矩阵X∗?=单位矩阵
单位矩阵

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]
]

最小二乘法之梯度下降

方向
d=bcost(w0+w1x1)bw1d = \frac{bcost(w0+w1x1)}{bw1}d=bw1bcost(w0+w1x1)

w1:=−w1−adw1 := -w1 -adw1:=−w1−ad
w0:=−w0−adw0 := -w0 -adw0:=−w0−ad

a是学习速率

沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新w值

使用：面对训练数据规模十分庞大的任务

线性回归API

普通最小二乘线性回归
sklearn.linear_model.LinearRegression
coef_ 回归系数

使用SGD最小线性模型
sklearn.linear_model.SGDRegressor
coef_ 回归系数

scikit-learn
优点：封装好，建立模型简单，预测简单
缺点：算法过程，参数都在算法内部优化

v0.18
v0.19 转换器 estimator 要求数据必须是二维数据
reshape(-1, 1)

TensorFlow
封装高低都有，自己实现线性回归

回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE评价机制
MSE=1m∑i=1m(yi−y−)2MSE=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^i-y^-)^2MSE=m1i=1∑m(yi−y−)2

yiy^iyi预测值
y−y^-y−真实值

梯度下降和正规方程区别

梯度下降	正规方程
需要选择学习率a	不需要
需要多次迭代	一次运算得出
当特征数据量n大时能较好适用	如果特征数量n较大则运算代价较大
适用于各种类型的模型	只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型
大规模数据	小规模数据，过拟合

代码示例

# -*- coding: utf-8 -*-from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 加载数据
boston = load_boston()# 训练集，测试集拆分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, test_size=0.25)# 数据标准化处理
# 特征值 标准化
std_x = StandardScaler()
X_train = std_x.fit_transform(X_train)
X_test = std_x.transform(X_test)# 目标值 标准化
std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))# 正规方程 线性回归预测
lr = LinearRegression()
lr.fit(X_train, y_train)print(lr.coef_)y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(X_test))
print(y_lr_predict)# 梯度下降 线性回归预测
sgd = SGDRegressor()
sgd.fit(X_train, y_train)print(sgd.coef_)y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(X_test))
print(y_sgd_predict)# 性能评估 均方误差
lr_mse = mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_lr_predict)
sgd_mse = mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_sgd_predict)print(lr_mse)  # 28.97
print(sgd_mse)  # 31.36

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import numpy as np import pandas as pd 导入数据 data=pd.read_csv(r"F:\数据集\dataset\boston.csv") ...

机器学习：线性回归梯度下降预测波士顿房价

线性回归

矩阵

线性回归

损失函数（误差大小）

最小二乘法之正规方程

最小二乘法之梯度下降

线性回归API

回归性能评估

梯度下降和正规方程区别

代码示例

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