正睿19暑期B班DAY1-1 概率与期望

一睹敦爷真容哇
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前置芝士

定义：随机变量概率期望独立事件

几个重要的式子
$(1 - x) \sum^{n}_{i = 0} x^i = 1 - x ^ {n + 1}$

$\sum^{inf}_{i = 0} x^i = \frac{1}{1 - x}$

$\sum^{n}_{i = 0} x^i = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}$

$E(XY) = E(X)E(Y)$
X, Y相互独立（感谢dy提醒）

期望的线性性：
$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
注意这个式子虽然对事件没有要求但是两个事件对期望的贡献必须是不重复的
接下来的经典问题部分会有提及

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技巧

一、前缀和技巧

对于离散变量X，有P(x == K) = P(x \leq K) - P(x \leq K - 1) = P(x \geq K) - P(x \geq K + 1)

用后者可证明一个重要结论
对于一件发生概率为P的事件，~~反复横跳~~直到发生的期望次数是$\frac{1}{P}$
证明类似时把式子展开前后项消一下用第二个公式即可（有时间填坑）

二、拿球问题

对于等价的问题可以感性理解概率均等

三、游走问题

1、f[i]表示从i走到下一个i + 1期望步数

$f[i] = \frac{1}{2} · 1 + \frac{1}{2}(1 + f[i - 1] + f[i])$

$f[i] = 2 + f[i - 1]$

2、每一个点可能直接到目的地或者走到另一个不相干的点每次成功几率为$\frac{1}{n - 1}$所以期望步数n - 1

3、同侧 $A = B + 1$

异侧 $B = \frac{1}{n} + \frac{n - 1}{n} (1 + A)$

解得$B = 2n - 1, A = 2n$

4、花心：1

花花 $A = B + 1$

心花 $B = \frac{1}{n} + \frac{n - 1}{n} (1 + A)$

解得$B = 2n - 1, A = 2n$（与完全二分极为类似）

5、可以看作从x到根

$E(x) = \frac{1}{|V| + 1} + \frac{|V|}{|V| + 1}(E(j) + E(i) + 1)$

6、多套几个就好啦。。标答完全图带个链

四、经典问题

答案：
1、$\sum^{n}_{i = 1} \frac{n}{i}$

2、$\frac{1}{i}$

3、$\sum^{n}_{i = 1}\sum^{n}_{j = 1, j != i} \frac{1}{ij} + \sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{i}$

4、$\frac{1}{2}$

5、(1) $\frac{\tbinom{n}{m} (n - m)}{n!} = \frac{1}{m!}$

(2)$\frac{(n - m + 1)(n - m)!}{n!}$

6、$1 + \sum^{n}_{i = 2}\frac{a[i]}{a[1] + a[i]}$

7、$E(x_i) = p E(x_{i - 1} + 2E(y_{i - 1}) + 1) + (1 - p)E(x_{i - 1})$

$E(y_i) = p(E(y_(i - 1)) + 1)$

8、$\frac{2}{(j - i + 1)(j - i)}$

9、排列组合暴力加

10、$\sum_{i - 1}^{n} \frac{1}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}$

-----------------------------------下午的分割线（说好的分治什么的全咕掉了）-----------------------------------

练习题

1、暴力啊$\sum_{i , j} C_{ij}w_i w_j$

2、考虑一个数贡献次数期望$\sum_{i = 1}^{n} a_i \sum_{j = 1}^{n - 1} \frac{2}{n - j + 1}$

3、注意是位置哦。。两边的概率是$\frac{1}{2}$ 中间的概率是$\frac{1}{3}$

4、$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{dep[i]}$

基础部分总结

$E(x) = \sum E(x_i)$

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一些题（贴课件）

先floyd计算最短路然后dp $f[i][j][0/1]$ i表示到了第i节课 j表示申请的教室数 0/1表示是否申请
（第三维仅表示申请，不一定申请成功）

$2\sum_{i = 2}^{n} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{R} G_i$
$G_i为以i为右端点区间数目$

本题分为两部分
第一部分：

$E(S) = \sum_{K} P(S = K) K $

$= \sum_{K} P(S >= K)$

$ = 1 - \sum_{K} P(S <= K)$

证明:$E(S) = \sum_{K} P(S = K) \sum_{j = 1}^{K} 1 $

$ = \sum_{j} 1 \sum_{K >= j} P(S == K) $

$ = \sum_{j} P(S \geq j)$

至此，问题变成了枚举$K(\leq 200)$，求出直径小于等于$K$的概率

第二部分：

$f[i][j]$ ：表示以i为根的子树最深处为j的概率

转移：对于i的一个子节点v，枚举深度k有

$f'[k] += 0.5f[v][k], f'[k + 1] += 0.5f[v][k]$

枚举深度k （目标直径K）

再枚举$j + k \leq K$

则有$f[i][max(j, k)] = f[i][j] + f'[k]$

最后的答案是根节点$\sum_{j} f[ROOT][j]$

每个颜色都是等价的他们的转移也是
当一次操作发生时我们把它的贡献乘二给参与操作的球一人一半
最后把答案除以二
这样贡献就可以对每个颜色独立计算了

对于一个颜色 f[i]表示这个序列中有i个该颜色球的期望步数
那么设
p1 = (这个颜色的球同化了一个同颜色的球)
p2 = (这个颜色的球同化了一个别的颜色的球)
p3 = (别的颜色的球同化了一个同颜色的球)
p4 = (别的颜色的球同化了一个别的颜色的球)
有转移$f[i] = p1(f[i] + 2) + p2(f[i - 1] + 1) + p3(f[i + 1] + 1) + p4(f[i])$
然后我们移一下项就可以递推啦和DAY3随机游走那题很类似

按位计算贡献，第i位每次操作有四种可能

(被区间覆盖的可能性$P = \frac{i(n - i + 1)}{n(n - 1)}$)

0 -> 0(1 - P)

0 -> 1(P)

1 -> 0 (P)

1 -> 1(1 - P)

把这个造一个转移矩阵

然后把每个位按照当前是1或0的概率造一个矩阵

于是可以矩阵快速幂了

中心思想就是比自己大的赋为1 比自己小的赋为0 然后1~n每个计算贡献

按边计算贡献一个线段在凸包上 <=>所有的点在它的一侧

所以P为$\frac{2^{s0} + s ^ {s1}}{2 ^ {s0 + s1}}$

$\sum_{i = 1}^{n}\frac{min(a_i, a_{i \mod n + 1})}{a_i a_{i \mod n + 1}}$

中心思想就是比自己大的赋为1 比自己小的赋为0 然后1~n每个计算贡献
这样的话对于每一种序列 (E.G.1011=0110) 都对应一个值(E.G.4) 可以计算有序的步数(E.G.5)
然后满足这样的序列有$\frac{1}{2^n * n}$种
枚举计数即可

$f[i][j]表示剩下i个人前面有j个人被当活人选过$

$类似于标黑方法$

$f[i][j] --被开过枪打死了(1 - (1 - p)^j)--> f[i - 1][j]$

$f[i - 1][j] --被开过j次枪但没死((1-p)^j)--> f[i - 1][j + 1]$

推荐练习题
()[https://blog.csdn.net/star_moon0309/article/details/81348643]

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