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有限差分法及matlab实现

有限差分法解静电场的边值问题的算法实现及相关问题讨论：

王宁远

中国科学技术大学 09 级物理 2 班

E-mail wny@mail.ustc.edu.cn

摘要：

本文用 MATLAB 实现了有限差分法解静电场边值问题的算法，将偏微分方程的问题化为线性方程

组问题，并使用了迭代法进行线性方程组的数值解。讨论了从几个角度去优化迭代法的措施。并运用这

样的方法解决了文 [1]的闪电模拟问题，，使用了更优化的算法对重新进行了计算，并一定程度上改进了

模型,讨论了几个与文[1]所持的不同的观点。

正文：

经典场的边值问题在数学上表达为泊松方程和拉普拉斯方程，但解偏微分方程往往是困难的。幸而

很多时候对于具体问题我们需要的不是解析解，而是数值解，所以可以考虑用连续变量离散化的方法求

出数值解,在足够的精度上进行逼进,这就引出了有限差分法。

 1.1 有限差分法:

有限差分法：

微分： f 'x =f x h−f x  h 0=dy

h dx

用有限的 h 代替，使得

f 'x ≈ △ y

△ x

差分的种类：

f x h−f x f x −f x −h  f x h−f x −h

一阶差分：或者或者

h h 2h

f x h−f x  f x −f x −h

−

二阶差分 : h h f x hf x −h−2f x 

h h2

设 U x , y , z 为空间电势的函数。

泊松方程：

∇ 2 U =ρ

使用二阶差分代替泊松方程中的拉普拉斯算符，有：

2 ∂2 U ∂2 U ∂2 U f x h, y , z f x −h, y ,z −2f x , y ,z 

∇ U = 2  2  2 =∑ 2

∂ x ∂ y ∂ z h

∑ 表示分别对三个变元求差分之和，以下相同

矩阵(数组)是计算机中重要的数据结构，为了方便用矩阵去存储数据，我们网格去划分空间，从而不

仅使方程化为简单的有限差分形式，而且这样的数据类型在

计算机中易于储存和运算。那么 h=k=l=1 ，并且令f(x,y,z)=u(x,y,z)

就有

U i1,j , kU i−1,j , kUi , j 1,kU i, j −1,kU i, j , k1U i, j , k−1

= 6Ui, j , kρ

这就是泊松方程的有限差分形式，以下估计该方程的精度：

由泰勒公式，易知有以下结果：

∂ U 1 ∂2 U 2 1 ∂3 U 3

U x h , y , z =U x , y , z  h 2 h  3 h ⋯

∂ x 2 ∂ x 6 ∂ x

∂ U 1 ∂2 U 2 1 ∂3 U 3

U x , y k,

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