欧拉函数

我们用$\phi(n)$表示欧拉函数

定义：$\phi(n)$表示对于整数$n$,小于等于$n$中与$n$互质的数的个数

性质

1.$\phi(n)$为积性函数

2.$\sum_{d|n}\phi(d)=n$

3.$1$到$n$中与$n$互质的数的和为$n*\dfrac{\phi(n)}{2}(n>1)$

计算方法

$\sqrt(n)$计算单值欧拉函数

假设我们需要计算$\phi(n)$

分情况讨论

1.当$n=1$时

很明显，答案为$1$

2.当$n$为质数时

根据素数的定义,答案为$n-1$

(仅有$n$与$n$不互质)

3.当$n$为合数时

我们已经知道了$n$为素数的情况

不妨对$n$进行质因数分解

设$n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}...*a_k^{p_k}$

假设$k=1$

那么$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$

证明:

考虑容斥，与一个数互素的数的个数就是这个数减去与它不互素的数的个数

因为$p$是素数，所以在$p^k$中与其不互素的数为$1*p$,$2*p$....$p^{k-1}*p$,有$p^{k-1}$个

得证

当$k\neq 1$时

$$\phi(n)$$

$$=\varphi \left( a^{p_{1}}_{1}a^{p_{2}\ldots }_{2}a^{Pk}_{k}\right)$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{P_i}-a^{P_{i}-1}_{i}$$

$$=\prod ^{k}_{i=1}a^{Pi}_{i}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

$$=n*\prod ^{k}_{i=1}(1-\dfrac {1}{p_{i}})$$

#include#include#include#include

#define LL long long

using namespacestd;intmain()

{

LL N;while(cin>>N&&N!=0)

{int limit=sqrt(N),ans=N;for(int i = 2; i <= limit ; ++i)

{if(N%i==0) ans=ans/i*(i-1);while(N%i==0) N=N/i;

}if(N>1) ans=ans/N*(N-1);

printf("%d\n",ans);

}return 0;

}

线性筛

因为欧拉函数是积性函数

因此可以使用线性筛法

性质1

若$p$为素数，则$\varphi \left( p\right) =p-1$

证明：

在$1-p$中，只有$(p,p)\neq1$

性质2

若$i mod p \neq  0$，且$p$为素数

则$\varphi \left( i*p\right) =\varphi \left( i\right) *\varphi \left( p\right)$

$=\varphi \left( i\ast p\right) =\varphi \left( i\right) \ast \left( p-1\right)$

这一步同时利用了性质1和欧拉函数的积性

性质3

若$i mod p = 0$，且$p$为素数，

则$\varphi \left( i\ast p\right) =\varphi \left( i\right) \ast p$

证明：

没怎么看懂，丢一个链接

http://blog.csdn.net/Lytning/article/details/24432651

#include#include#include#include

#define LL long long

using namespacestd;const int MAXN=1e6+10;int prime[MAXN],tot=0,vis[MAXN],phi[MAXN],N=10000;voidGetPhi()

{for(int i=2;i<=N;i++)

{if(!vis[i])

{

prime[++tot]=i;

phi[i]=i-1;

}for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=N;j++)

{

vis[ i*prime[j] ] = 1;if(i%prime[j]==0)

{

phi[ i*prime[j] ]=phi[i]*prime[j];break;

}else phi[ i*prime[j] ]=phi[i]*(prime[j]-1);

}

}

}intmain()

{

GetPhi();

cin>>N;

printf("%d\n",phi[N]);return 0;

}

例题

放两道水题